مساحة

  لمعانٍ أخرى، طالع مساحة (توضيح).

مساحة معلومات عامة الرموز الشائعة S التعريف الرياضي $A=\iint \mathrm {d} x\mathrm {d} y$ نظام الوحدات الدولي متر مربع التحليل البعدي ${\mathsf {L}}^{2}$

جزء من سلسلة مقالات حول
الهندسة الرياضية
الخطوط العريضة التاريخ
الفروع إقليدية لاإقليدية إهليلجية كروية زائدية لا أرخميدية إسقاطية نسبية تركيبية تحليلية جبرية حسابية ديوفانية تفاضلية ريمانية هندسة تماسكية عقدية منتهية متقطعة رياضية رقمية محدبة رياضية حاسوبية وقعية
المبادئ الخواص بعد الإنشاء بالمسطرة والفرجار زاوية منحنى ضلع قطري تعامد رياضي (تعامد هندسي) تواز رأس تطابق تشابه تناظر
صفري الأبعاد نقطة
وحيد البعد الطول مستقيم قطعة مستقيمة
المُسطَّحات مستو مساحة مضلع المثلثات مثلث الارتفاع الوتر مبرهنة فيثاغورس متوازيات الأضلاع متوازي أضلاع مربع مستطيل معين شبه معين رباعيات الأضلاع رباعي أضلاع شبه منحرف طائرة ورقية المنحنيات دائرة القطر المحيط المساحة قطع ناقص
المُجسَّمات حجم مكعب متوازي مستطيلات أسطوانة هرم كرة
ما فوق البعد الثالث مكعب رباعي الأبعاد كرة نونية الأبعاد
علماء الهندسة
وفق الاسم أيدا أريابهاتا أحمس ابن الهيثم أبلونيوس أرخميدس عطية بولياي براهماغوبتا كارتن كوكستر ديكارت إقليدس أويلر غاوس غروموف هيلبرت جيهاديفا كاتيايانا الخيَّام كلاين لوباتشيفسكي مانافا مينكوفسكي مينغاتو باسكال فيثاغورس باراميشفارا بوانكاريه برنارد ريمان سكابي السجزي الطوسي فيبلين فيراسينا يانغ هوي ابن الياسمين زانج قائمة علماء الهندسة
وفق الحقبة قبل الميلاد أحمس مانافا فيثاغورس إقليدس أرخميدس أبلونيوس 1–1400م زانج كاتيايانا أريابهاتا براهماغوبتا فيراسينا ابن الهيثم السجزي الخيَّام ابن الياسمين الطوسي يانغ هوي باراميشفارا 1400–1700م جيهاديفا ديكارت باسكال مينغاتو أويلر سكابي أيدا 1700–1900م غاوس لوباتشيفسكي بولياي برنارد ريمان كلاين بوانكاريه هيلبرت مينكوفسكي كارتن فيبلين كوكستر معاصرون عطية غروموف
بوابة هندسة رياضية

ثلاثة أشكال هندسية معهودة.

المِسَاحَة هي قياس لمنطقة محصورة في نطاق معين على سطح، وأبسط شكل لها هي المنطقة المحصورة بين أربع خطوط بنفس الطول، اثنان منها متوازيان، والآخران متعامدان مع الأولى، أي على شكل مربع. ومن هذا الشكل يتم اشتقاق كل أشكال المساحة الأخرى، وعندما يكون طول هذه الخطوط وحدة قياس طول واحدة، فإنّ المساحة المحصورة بينها تعتبر وحدة قياس مساحة واحدة، وبالتالي فإذا كان هناك مربع، طول ضلعه متر واحد، فإن مساحته تساوي مترا مربعا واحدا.

يمكن حساب المساحة بعدد مربعات وحدة المساحة الجزئية والكاملة. في النظام الدولي للوحدات الوحدة القياسية للمساحة هو المتر المربع (كما هو مكتوب m²)، وهو مساحة مربع طول ضلعه متر واحد. شكل ذو مساحة ثلاثة متر مربع لديه نفس المساحة لثلاثة من هذه المربعات ذات المتر الواحد طولا. وهناك العديد من الصيغ المعروفة للمساحات لأشكال بسيطة مثل المثلثات والمستطيلات والدوائر. باستخدام هذه الصيغ، يمكن حساب مساحة أي مضلع من خلال تقسيم المضلع إلى مثلثات أو الدوائر للحصول على الأشكال المنحنية مع الحدود، وعادة ما يتطلب حساب التفاضل والتكامل لحساب المجال. في الواقع، كانت مشكلة تحديد مجال الأرقام دافعا كبيرا للتطور التاريخي في حساب التفاضل والتكامل. إذا أخذنا شكلا صلبا مثل كرة، مخروط أو اسطوانة، تسمى مساحة سطح حدود هذا الشكل بمساحة السطح. حسبت معادلات مساحات السطح للأشكال البسيطة من قبل الإغريق، ولكن حساب المساحة السطحية للشكل هي الأكثر تعقيدا وعادة ما يتطلب حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات.

معادلات لقياس المِسَاحَة

مساحة الدائرة ذات الشعاع r.

• مساحة المستطيل = الطول × العرض

مسلمة مساحة المستطيل والتي تنص على أن مساحة المستطيل تساوى طوله×عرضه وهذا شيء بديهى يمكن إدراكه بدون البرهنة عليه وذلك بملاحظة أنه عند فرض مستطيل عرضه الوحدة (لكى يكون عرضه غير مؤثر في المساحة بحيث يكون الطول وحده هو الذي يتحكم في قيمة المساحة) وطوله عدد معين من الوحدات نلاحظ أن عدد الوحدات المربعة والتي تشكل مساحة المستطيل يساوى عدد الوحدات الطولية التي تشكل طول المستطيل وبزيادة عدد وحدات الطول نلاحظ أن مساحة المستطيل تزداد بنفس المقدار ومن ذلك يتضح أن مساحة المستطيل تساوى طوله×عرضه.

• مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع: وتكتب بالإنجليزية على الصورة $A=b.h/2$ حيث: b هي طول القاعدة، وh هي طول الارتفاع.
• مساحة الدائرة $A=\pi r^{2}\,$ حيث: r هي نصف قطر الدائرة.
• مساحة سطح الكرة $A=4\pi r^{2}\,$ حيث: r هي نصف قطر الكرة.
• مساحة الشكل البيضاوي (أو الأهليجي): باي(${\pi }$) × نق المحور الأكبر × نق المحور الأصغر
• يمكن قياس مساحة الأشكال المعقدة والمساحات المحصورة بين الدوال باستخدام علم التفاضل والتكامل
• مساحة المربع = طول الضلع تربيع (ل²) أو A = L²

وحدات قياس المِسَاحَة

• سنتيمتر مربع اختصاره: سم²
• المتر مربع اختصاره: م²، وهي وحدة مشتقة من المتر (وحدة قياس دولية)
• هكتار يساوي 10000 متر مربع
• كيلومتر مربع اختصاره: كم² يساوي 1000000 (مليون) متر مربع
• قدم مربع ويساوي 0.09290304 متر مربع
• ياردة مربعة وتساوي 9 أقدام مربعة أي 0.83612736 متر مربع
• ميل مربع ويساوي 2.5899881103 كيلومتر مربع
• الفدان ويساوي 4200.83 متر مربع، وينقسم إلى 24 قيراط وكل قيراط ينقسم إلى 24 سهم حيث مساحة القيراط 175.09 متر مربع ومساحة السهم 7.29 متر مربع.

والفدان أكبر قليلا من الأكر الأنجلو أمريكي.

• أكر (Acre) يساوي 4046.8564224 متر مربع.
• قصبة (وحدة تستخدم في البلاد العربية) تعادل 30,25 ياردة مربعة.

مساحة بعض الأشكال الهندسية

يعطي هذا الجدول معادلات المساحة لبعض الأشكال في الهندسة المستوية:

الشكل	صفـاته	المساحة $A$
المربع	طول الضلع $a$	$A=a^{2}$
المستطيل	الطول والعرض $a,\,b$	$A=a\cdot b$
المثلث (انظر أيضا: مساحة المثلث)	القاعدة $b$، الارتفاع $h$، عمودي على$b$	$A={\frac {b\cdot h}{2}}$
شبه منحرف	الضلعان المتوازيان $a,\,c$، الارتفاع $h$، عمودي على$a$ و$c$	$A={\frac {a+c}{2}}\cdot h$
المعين	المحورين $d_{1}$ و$d_{2}$	$A={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}$
متوازي الأضلاع	طول الضلع $a$، الارتفاع $h_{a}$، عمودي على $a$	$A=a\cdot h_{a}$
دائرة	نصف القطر $r$	$A=\pi r^{2}$
قطع ناقص	المحور الطويل $2a$ والمحور القصير $2b$	$A=\pi ab$
مسدس منتظم	طول الضلع $a$	$A={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}$

من أجل تعيين مساحة متعدد الأضلاع فيمكن تقسيمه إلى مثلثات، ثم جمعها بعد حساب مساحاتها. وإذا كانت الإحداثيات $(x_{i},y_{i}),i=1\dots n$ لعدد $n$ من الأركان لمتعدد الأضلاع معروفة، فيمكن حساب المساحة بواسطة معادلة جاوس لشبه المنحرف:

$A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})$

حيث:

$x_{n+j}=x_{j}$

و $y_{n+j}=y_{j}$

الأشكال أخرى يمكن تقريبها لمضلع متعدد الأضلاع وتكملة حسابها بالتقريب.

حساب مِسَاحَة أسطح بعض الأجسام

هرم رباعي السطوح

مخروط

الشكل	صفاتـه	مساحة السطح $A$
مكعب	طول الضلع $a$	$A=6a^{2}$
متوازي المستطيلات	الطول، والعرض، والارتفاع $a,\,b,\,c$	$A=2(ab+ac+bc)$
رباعي السطوح	طول الضلع $a$	$A={\sqrt {3}}\,a^{2}$
الكرة (انظر أيضا: مساحة سطح الكرة)	نصف القطر $r$	$A=4\pi r^{2}$
أسطوانة	نصف قطر القاعدة $r$، الارتفاع $h$	$A=2\pi r(r+h)$
مخروط	نصف قطر القاعدة $r$، الارتفاع $h$	$A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$
طارة (رياضيات)	نصف قطر الطارة $R$، نصف قطر المقطع $r$	$A=4\pi ^{2}\cdot R\cdot r$

حساب التكامل

المقالة الرئيسة: التفاضل والتكامل

تعيين المساحة تحت منحنى بين النقطتين a وb بالتقريب عن طريق تقسيمها إلى مستطيلات ضيقة. وهذه هي فكرة حساب التكامل.

يستعمل حساب التكامل بغرض تعيين المساحة تحت منحنى في منحنى بياني. وتنبع تلك الفكرة من امكانية تقسيم المساحة المحصورة بين المنحنى البياني والمحور الأفقي $x$ إلى مجموعة من المستطيلات الضيقة، وينبع معنى حساب التكامل من جعل عرض المستطيلات المختارة يقترب من الصفر (عندما تقترب dx من الصفر).

انظر أيضا

• تكامل
• محيط (هندسة رياضية)
• حجم

مراجع

1. د.إبراهيم زيادى 1993 مبادئ علم المساحة، دار المعرفة الجامعية، الإسكندرية
2. د. محمد فريد يوسف، اساسيات المساحة الطبوغرافية، دار الراتب الجامعية
3. د. يوسف صيام، اصول المساحة، الأردن - عمان 1993