كواترنيون

يمكن استخدام كواتيرنيون لتمديد مجموعة جوليا ومجموعة ماندلبرو وتقديمها بصريا في أبعادها الثلاثية.

الكواتيرنيون (بالإنجليزية: Quaternion)‏ في مجال الرياضيات هو امتداد عملية غير تبديلية للأعداد المركبة. وصَف الكواتيرنيون السير ويليام هاميلتون في عام1843 وطبقهم على الميكانيك في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في البداية تم اعتبار الكواتيرنيون عنصرا غير مفيد لأنها تخالف قانون العملية التبديلية ab = ba. على الرغم أنه تم الاستعاضة عنهم في كثير من التطبيقات بالأشعة والمصفوفات، إلا ما زال يوجد لهم العديد من الاستخدامات في الرياضيات النظرية والتطبيقية، بشكل خاص الحسابات المتعلقة بالدوران ثلاثي الأبعاد كما في الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد.

في العصر الحديث يشار إلى الكواترنيون بالرمز الجبري H نسبة إلى العالم هاميلتون أو باستخدام الرمز العريض $\mathbb {H}$.

التعريف

ضرب كواتيرنيون

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

تعرف الكواتيرنيون على شكل حلقة

$\mathbb {H} =\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$

وتكون عملية الجمع على الشكل التالي:

$(a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)+(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)\,$

$=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i+(c_{1}+c_{2})j+(d_{1}+d_{2})k\,$

وعملية الطرح كما يلي:

$(a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)\,$

وباستخدام قانون التوزيع وتطبيق العلاقات المعرفة ينتج لدينا:

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1,\,$

بحيث أن كل كواتيرنيون هي علاقة خطية حقيقية متفردة للزمر الرباعية الأساسية 1, i, j, k.

الخصائص

الجداء البسيط

من أجل أي كواتيرنيون تعطى الصيغ الأساسية لجداء عوامل الكواتيرنيون على الشكل التالي:

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\,$

حيث i, j, k وتلخص جداءات العناصر الرئيسية للكواتيرنيونات في الجدول التالي:

${\begin{matrix}ij&=&k,&&&&ji&=&-k,\\jk&=&i,&&&&kj&=&-i,\\ki&=&j,&&&&ik&=&-j.\end{matrix}}$

على سبيل المثال: بما أن

$-1=ijk,\,\!$

فإن حاصل الجداء اليميني لكلا طرفي المعادلة بـ k يعطي:

${\begin{matrix}-k&=&ijkk,\\-k&=&ij(-1),\\k&=&ij.\end{matrix}}\,\!$

وبمثل هذه الطريقة يتم الحصول على كامل جدول الضرب. على خلاف جداء الأعداد الحقيقية أو العقدية، فإن جداء الكواتيرنيون ليس عملية تبديلية مثلاً $ij=k$, بينما $ji=-k$. إن الخاصة اللاتبديلية لجداء الكواتيرنيون له خصائص غير متوقعة، مثلاً فإن المعادلات متعددة الحدود الممثلة على شكل كواتيرنيونات من الممكن أن يكون لها عدد حلول فريدة أكثر من درجة المعادلة. مثلاً المعادلة

$z^{2}+1=0$ 

تملك عدد حلول لانهائي للكواتيرنيون تعطى بالعلاقة

$z=bi+cj+dk$ حيث $b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$ 

حيث تمثل مجموعة الحلول كرة واحدية متمركزة في الفضاء العقدي الثلاثي الأبعاد الذي هو فضاء جزئي من فضاء الكواتيرنيون، وتقطع هذه الكرة المستوي العقدي فقط عند قطبيها $i$ و$-i$.

اقرأ أيضا

• ويليام روان هاميلتون
• هاملتوني (ميكانيكا الكم)