استيفاء خطي

النقطتان الحمراوتان معلومتان. الخط المستقيم الأزرق هو الخط المستوفي بينهما. يمكن إيجاد قيمة y عند x باستعمال الاستيفاء الخطي.

فِي الرِّياضيَّات، الاسْتيفاء الخطِّيّ (بالانجليزية:Linear interpolation) هُو طَرِيقَة لِتوْفِيق المنْحنيات بِاسْتخْدام مُتعدِّدات اَلحُدود الخطِّيَّة لِبناء نِقَاط بيانَات جَدِيدَة ضِمْن نِطَاق مَجمُوعة مِن البيانات المعْروفة.

الاستيفاء الخطي بين نقطتين معروفتين[عدل]

إذا كانتا النقطتين المعروفتين ممثلتين بالإحداثيات $(x_{0},y_{0})$ وَ $(x_{1},y_{1})$ , فإن الخط المستوفي هو الخط المستقيم بين هاتين النقطتين. لقيمة $x$ في الفترة $(x_{0},x_{1})$ , تُعطى القيمة $y$ على طول الخط المستقيم من معادلة الميلات ${\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}},$ والتي يمكن استنتاجها هندسياً من الشكل على اليسار. إنها حالة خاصة من استيفاء متعدد الحدود بقيمة $n=1$ .

حل هذه المعادلة لـ $y$ , وهي القيمة المجهولة في $x$ , يعطي ${\begin{aligned}y&=y_{0}+(x-x_{0}){\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\&={\frac {y_{0}(x_{1}-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {y_{1}(x-x_{0})-y_{0}(x-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}\\&={\frac {y_{1}x-y_{1}x_{0}-y_{0}x+y_{0}x_{0}+y_{0}x_{1}-y_{0}x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\&={\frac {y_{0}(x_{1}-x)+y_{1}(x-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}},\end{aligned}}$ وهو الصيغة للاستيفاء الخطي في الفترة $(x_{0},x_{1})$ . خارج هذه الفترة، تكون الصيغة متطابقة مع استكمال خارجي.

يمكن أيضاً فهم هذه الصيغة على أنها متوسط مرجح. الأوزان معكوسة مرتبطة بالمسافة من النقاط النهائية إلى النقطة المجهولة؛ النقطة الأقرب لها تمتلك تأثيراً أكبر من النقطة الأبعد. وبالتالي، الأوزان تكون

${\textstyle 1-(x-x_{0})/(x_{1}-x_{0})}$ وَ ${\textstyle 1-(x_{1}-x)/(x_{1}-x_{0})}$ , والتي تمثل المسافات الموحدة بين النقطة المجهولة وكل من النقاط النهائية. لأن هذه المجموعة تساوي 1، ${\begin{aligned}y&=y_{0}\left(1-{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left(1-{\frac {x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}\right)\\&=y_{0}\left(1-{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\\&=y_{0}\left({\frac {x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\end{aligned}}$ مما يعطي الصيغة للاستيفاء الخطي المذكورة أعلاه.

استيفاء مجموعة بيانات[عدل]

يتكون الاستيفاء الخطي على مجموعة من نقاط البيانات (النقاط الحمراء) من قطع الاستيفاء الخطي (الخطوط الزرقاء). الاستيفاء الخطي على مجموعة من نقاط البيانات $(x 0, y 0), (x 1, y 1), ..., (x n, y n)$ يُعرَّف كخطي قطعة قطعة، ناتج عن اتحاد قطع مستقيمة الاستيفاء بين كل زوج من نقاط البيانات. وينتج عن ذلك منحنى مستمر، ولكنه يكون له تفاضل متقطع (بشكل عام)، وبالتالي من الفصل التفاضلي $C^{0}$ .

الاستيفاء الخطي كتقريب[عدل]

الاستيفاء الخطي يستخدم غالبا لتقريب قيمة دالة $f$ باستخدام قيمتين معروفتين لتلك الدالة في نقاط أخرى. يتم تعريف خطأ هذا التقريب كما يلي.

$R_{T}=f(x)-p(x),$

حَيْث يُمثِّل $p$ متعدد الحدود لِلاسْتيفاء الخطِّيِّ اَلمُعرف أَعلَاه:

$p(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).$

يُمْكِن أن يَتِم إِثْباته بِاسْتخْدام مُبَرهنَة رُول أَنَّه إِذَا كان لَدى الدَّالَّة $f$ مُشْتقَّة ثَانِية مُسْتمِرَّة ، فَإِن الخطأ مَحصُور بِواسِطة

$|R_{T}|\leq {\frac {(x_{1}-x_{0})^{2}}{8}}\max _{x_{0}\leq x\leq x_{1}}\left|f''(x)\right|.$

صحيح ، يُصْبِح التَّقْريب بَيْن نُقْطتَيْنِ على دَالَّة مُعَينَة أَسوَأ مع تَزايُد المشْتقَّة الثَّانية لِلدَّالَّة المقرَّبة وَهذَا مَنطقِي أيْضًا : كُلمَا كَانَت الدَّالَّة أَكثَر اِنحِناء ، زاد سُوء التَّقْريبات اَلتِي يَتِم إِجْراؤهَا بِاسْتخْدام الاسْتيفاء الخطِّيِّ اَلبسِيط . . .

انظر أيضا[عدل]

المراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

هذه بذرة مقالة عن التحليل الرياضي بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.