مبرهنة رول

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
تمثيل بياني للنظرية

في التفاضل والتكامل، تنص مبرهنة رول على أن كل دالة قيمها عبارة عن أعداد حقيقية وقابلة للاشتقاق، والتي تتساوى قيمتها عند نقطتين اثنتين مختلفتين، فإن لهذه الدالة نقطة ما بينهما، حيث تكون قيمة اشتقاق الدالة مساوية للصفر.

إذا كانت دالة تحقق الشروط الآتية لعددين حقيقيين a وb بحيث

فإنه يوجد عنصر c حقيقي ضمن بحيث .

الصيغة الرسمية للمبرهنة[عدل المصدر]

التاريخ[عدل المصدر]

أول برهان رسمي معروف لهذه المبرهنة يعود إلى ميشيل رول. كان ذلك في عام 1691

أمثلة[عدل المصدر]

المثال الأول[عدل المصدر]

نصف دائرة شعاعها يساوي r.

ليكن r عددا موجبا ولتكن الدالة التالية:

المثال الثاني[عدل المصدر]

الرسم البياني لدالة القيمة المطلقة.

تعميمات[عدل المصدر]

برهان الصيغة المعممة[عدل المصدر]

تعميم لدرجات اشتقاق أعلى[عدل المصدر]

برهان[عدل المصدر]

وجود القيمة r يعني أن هناك قيمة قصوى أو دنيا. نفترض f موجبة في (أ، ب).

في هذه الحالة يكون للدالة f على الأقل قيمة قصوية.

إذا افترضنا أنه لا توجد القيمة r، وf(a) = 0 وf موجبة. فهذا يعني أن الدالة f متزايدة أي أن f(b)#0 وهذا يتناقض مع f(b)=0.

تعميمات لحقول أخرى[عدل المصدر]

انظر أيضاً[عدل المصدر]

مراجع[عدل المصدر]

  • نظرية رول [1]

وصلات خارجية[عدل المصدر]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg
هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.