مجموعة مفتوحة: الفرق بين النسختين

تصفح التاريخ تفاعلياً

[نسخة منشورة]

→ التعديل السابق التعديل اللاحق ←

تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى

مرئينص الويكي

مضمن

نسخة 19:33، 7 ديسمبر 2019

في الطوبولوجيا، تدعى المجموعة U بالمجموعة المفتوحة (بالإنكليزية: Open set) إذا كان، ابتداءً من أي نقطة x في المجموعة U من الممكن التحرك في أي اتجاه بشكل بسيط دون الخروج خارج المجموعة.^[1]^[2]^[3]

بشكل آخر، إن المسافة بين أي نقطة x في المجموعة U ومحيط المجموعة U تكون دائماً أكبر من الصفر.

وبصفة عامة في فضاء طوبولوجي (E,T) المجموعات المفتوحة أو المفتوحات اختصارا هي عناصر T. يشكل هذا المفهوم مفهوما هاما و أساسيا في الرياضيات.

تعريف

توجد عدة تعاريف للمفهوم, تختلف حسب نوع الفضاء. لكنها لا تتعارض مع تعريف عام:

حيث E مجموعة ما و T مجموعةٌ عناصرها هي مجوعات جزئية لِ E, إذا تحققت الخاصياتُ الثلاثة الآتية مجتمعةً:

الفراغُ والشمولُ : المجموعة الفارغة Ø و E عضوان في T.
الوَصْل: أيُ اتحادٍ لاعضاء من T ينتمي لِ T (إن كان نهائياً او غير نهائي).
البَيْن: تقاطع اي مجموعتين من T ينتمي هو ايضا لِ T (ليس ضروريا ان ينتمي تقاطع عدد لا نهائي من المجموعات من داخل T إلى TT).

و في هذه الحالة نسمي T طوبولوجيّةً الفضاء, والمجموعات الاعضاء فيها نسميهن المجموعات المفتوحة في الفضاء. مجموعةٌ التي مكَمّلتها مجموعة مفتوحة تُسمّى مجموعة مغلقة.

بالنسبة للفضائات المترية فنقول أن مجموعة هي مجموعة مفتوحة اٍذا كان بالنسبة لأي عنصر x من المجموعة, فاٍنه يوجد عدد حقيقي r موجب قطعا, حيت تكون الفلكة التي مركزها x وشعاعها r مضمونة في المجموعة.

أمثلة

في مجموعة الأعداد الحقيقية يتقاطع مفهوم المجموعة المفتوحة مع مجال مفتوح. فكل مجموعة مفتوحة هي اتحاد مجالات مفتوحة قابلة للعد متفارقة(منفصلة) فيما بينها مثنى مثنى.

انظر أيضاً

جوار (رياضيات)

مراجع

^ Ueno, Kenji وآخرون (2005). "The birth of manifolds". A Mathematical Gift: The Interplay Between Topology, Functions, Geometry, and Algebra. American Mathematical Society. ج. Vol. 3. ص. 38. ISBN:9780821832844. مؤرشف من الأصل في 2017-09-11. {{استشهاد بكتاب}}: |volume= يحوي نصًّا زائدًا (مساعدة)
^ Taylor، Joseph L. (2011). "Analytic functions". Complex Variables. The Sally Series. American Mathematical Society. ص. 29. ISBN:9780821869017. مؤرشف من الأصل في 2016-06-08.
^ Krantz، Steven G. (2009). "Fundamentals". Essentials of Topology With Applications. CRC Press. ص. 3–4. ISBN:9781420089745.

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.

[1] Ueno, Kenji وآخرون (2005). "The birth of manifolds". A Mathematical Gift: The Interplay Between Topology, Functions, Geometry, and Algebra. American Mathematical Society. ج. Vol. 3. ص. 38. ISBN:9780821832844. مؤرشف من الأصل في 2017-09-11. {{استشهاد بكتاب}}: |volume= يحوي نصًّا زائدًا (مساعدة)

[2] Taylor، Joseph L. (2011). "Analytic functions". Complex Variables. The Sally Series. American Mathematical Society. ص. 29. ISBN:9780821869017. مؤرشف من الأصل في 2016-06-08.

[3] Krantz، Steven G. (2009). "Fundamentals". Essentials of Topology With Applications. CRC Press. ص. 3–4. ISBN:9781420089745.

[1]

[2]

[3]

@@ سطر 1: / سطر 1: @@
 [[ملف:Red blue circle.svg|تصغير|تشكل النقاط الحمراء في هذه الدائرة مجموعة مفتوحة، ويشكل اجتماع النقاط الحمراء والنقاط الزرقاء [[مجموعة مغلقة]].]]
-في [[طوبولوجيا|الطوبولوجيا]]، تدعى [[مجموعة (رياضيات)|المجموعة]] ''U'' '''بالمجموعة المفتوحة''' {{إنك|Open set}} إذا كان، ابتداءً من أي [[نقطة]] ''x'' في المجموعة ''U'' من الممكن التحرك في أي اتجاه بشكل بسيط دون الخروج خارج المجموعة.<ref>{{cite book|authors=Ueno, Kenji|chapter=The birth of manifolds|title=A Mathematical Gift: The Interplay Between Topology, Functions, Geometry, and Algebra|volume=Vol. 3|publisher=American Mathematical Society|year=2005|isbn=9780821832844|page=38|url=https://books.google.com/books?id=GCHwtdj8MdEC&pg=PA38|display-authors=etal}}</ref><ref>{{cite book |last=Taylor |first=Joseph L. |chapter=Analytic functions |title=Complex Variables |series=The Sally Series |publisher=American Mathematical Society |year=2011 |isbn=9780821869017 |page=29 |url=https://books.google.com/books?id=NHcdl0a7Ao8C&pg=PA29}}</ref><ref>{{cite book |last=Krantz |first=Steven G. |authorlink=Steven G. Krantz |chapter=Fundamentals |title=Essentials of Topology With Applications |publisher=CRC Press |year=2009 |isbn=9781420089745 |pages=3–4 |url=https://books.google.com/books?id=LUhabKjfQZYC&pg=PA3}}</ref>
+في [[طوبولوجيا|الطوبولوجيا]]، تدعى [[مجموعة (رياضيات)|المجموعة]] ''U'' '''بالمجموعة المفتوحة''' {{إنك|Open set}} إذا كان، ابتداءً من أي [[نقطة]] ''x'' في المجموعة ''U'' من الممكن التحرك في أي اتجاه بشكل بسيط دون الخروج خارج المجموعة.<ref>{{cite book|authors=Ueno, Kenji|chapter=The birth of manifolds|title=A Mathematical Gift: The Interplay Between Topology, Functions, Geometry, and Algebra|volume=Vol. 3|publisher=American Mathematical Society|year=2005|isbn=9780821832844|page=38|url=https://books.google.com/books?id=GCHwtdj8MdEC&pg=PA38|display-authors=etal| مسار الأرشيف = https://web.archive.org/web/20170911202145/https://books.google.com/books?id=GCHwtdj8MdEC&pg=PA38 | تاريخ الأرشيف = 11 سبتمبر 2017 }}</ref><ref>{{cite book |last=Taylor |first=Joseph L. |chapter=Analytic functions |title=Complex Variables |series=The Sally Series |publisher=American Mathematical Society |year=2011 |isbn=9780821869017 |page=29 |url=https://books.google.com/books?id=NHcdl0a7Ao8C&pg=PA29| مسار الأرشيف = https://web.archive.org/web/20160608064156/https://books.google.com/books?id=NHcdl0a7Ao8C&pg=PA29 | تاريخ الأرشيف = 8 يونيو 2016 }}</ref><ref>{{cite book |last=Krantz |first=Steven G. |authorlink=Steven G. Krantz |chapter=Fundamentals |title=Essentials of Topology With Applications |publisher=CRC Press |year=2009 |isbn=9781420089745 |pages=3–4 |url=https://books.google.com/books?id=LUhabKjfQZYC&pg=PA3}}</ref>
 بشكل آخر، إن [[مسافة|المسافة]] بين أي نقطة ''x'' في المجموعة ''U'' ومحيط المجموعة ''U'' تكون دائماً أكبر من الصفر.