علم المثلثات ، تربط صيغ ظل نصف الزاوية ظل نصف الزاوية بالدوال المثلثية لكامل الزاوية. ظل نصف الزاوية هو الإسقاط المجسامي للدائرة على المستقيم. ومن هذه الصيغ:
tan
1
2
(
η
±
θ
)
=
tan
1
2
η
±
tan
1
2
θ
1
∓
tan
1
2
η
tan
1
2
θ
=
sin
η
±
sin
θ
cos
η
+
cos
θ
=
−
cos
η
−
cos
θ
sin
η
∓
sin
θ
,
tan
1
2
θ
=
sin
θ
1
+
cos
θ
=
tan
θ
sec
θ
+
1
=
1
csc
θ
+
cot
θ
,
(
η
=
0
)
tan
1
2
θ
=
1
−
cos
θ
sin
θ
=
sec
θ
−
1
tan
θ
=
csc
θ
−
cot
θ
,
(
η
=
0
)
tan
1
2
(
θ
±
1
2
π
)
=
1
±
sin
θ
cos
θ
=
sec
θ
±
tan
θ
=
csc
θ
±
1
cot
θ
,
(
η
=
1
2
π
)
tan
1
2
(
θ
±
1
2
π
)
=
cos
θ
1
∓
sin
θ
=
1
sec
θ
∓
tan
θ
=
cot
θ
csc
θ
∓
1
,
(
η
=
1
2
π
)
1
−
tan
1
2
θ
1
+
tan
1
2
θ
=
±
1
−
sin
θ
1
+
sin
θ
tan
1
2
θ
=
±
1
−
cos
θ
1
+
cos
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(\eta \pm \theta )&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\eta \pm \tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1\mp \tan {\tfrac {1}{2}}\eta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }},\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {\tan \theta }{\sec \theta +1}}={\frac {1}{\csc \theta +\cot \theta }},&&(\eta =0)\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sec \theta -1}{\tan \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ,&&(\eta =0)\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}{\big (}\theta \pm {\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}&={\frac {1\pm \sin \theta }{\cos \theta }}=\sec \theta \pm \tan \theta ={\frac {\csc \theta \pm 1}{\cot \theta }},&&{\big (}\eta ={\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}{\big (}\theta \pm {\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}&={\frac {\cos \theta }{1\mp \sin \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \mp \tan \theta }}={\frac {\cot \theta }{\csc \theta \mp 1}},&&{\big (}\eta ={\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}\\[10pt]{\frac {1-\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1+\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[10pt]\end{aligned}}}
sin
α
=
2
tan
1
2
α
1
+
tan
2
1
2
α
cos
α
=
1
−
tan
2
1
2
α
1
+
tan
2
1
2
α
tan
α
=
2
tan
1
2
α
1
−
tan
2
1
2
α
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\cos \alpha &={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\tan \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\end{aligned}}}
باستخدام صيغ الزاوية المزدوجة ومتطابقة فيثاغورس
1
+
tan
2
α
=
1
/
cos
2
α
{\textstyle 1+\tan ^{2}\alpha =1{\big /}\cos ^{2}\alpha }
sin
α
=
2
sin
1
2
α
cos
1
2
α
=
2
sin
1
2
α
cos
1
2
α
/
cos
2
1
2
α
1
+
tan
2
1
2
α
=
2
tan
1
2
α
1
+
tan
2
1
2
α
,
and
{\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \cos {\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cos {\tfrac {1}{2}}\alpha {\Big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }},\quad {\text{and}}}
cos
α
=
cos
2
1
2
α
−
sin
2
1
2
α
=
(
cos
2
1
2
α
−
sin
2
1
2
α
)
/
cos
2
1
2
α
1
+
tan
2
1
2
α
=
1
−
tan
2
1
2
α
1
+
tan
2
1
2
α
,
and
{\displaystyle \cos \alpha =\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {\left(\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha \right){\Big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }},\quad {\text{and}}}
بأخذ حاصل قسمة صيغ الجيب وجيب التمام:
tan
α
=
2
tan
1
2
α
1
−
tan
2
1
2
α
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}}
cos
2
α
=
cos
2
α
−
sin
2
α
=
1
−
2
sin
2
α
=
2
cos
2
α
−
1
,
{\textstyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1,}
بإعادة ترتيب، وأخذ الجذور التربيعية:
|
sin
α
|
=
1
−
cos
2
α
2
{\displaystyle \left|\sin \alpha \right|={\sqrt {\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}}
|
cos
α
|
=
1
+
cos
2
α
2
{\displaystyle \left|\cos \alpha \right|={\sqrt {\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}}
|
tan
α
|
=
1
−
cos
2
α
1
+
cos
2
α
=
1
−
cos
2
α
1
+
cos
2
α
1
+
cos
2
α
=
1
−
cos
2
2
α
1
+
cos
2
α
=
|
sin
2
α
|
1
+
cos
2
α
.
{\displaystyle \left|\tan \alpha \right|={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {\left|\sin 2\alpha \right|}{1+\cos 2\alpha }}.}
|
tan
α
|
=
1
−
cos
2
α
1
+
cos
2
α
=
1
−
cos
2
α
1
+
cos
2
α
1
−
cos
2
α
=
1
−
cos
2
α
1
−
cos
2
2
α
=
1
−
cos
2
α
|
sin
2
α
|
.
{\displaystyle \left|\tan \alpha \right|={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{\left|\sin 2\alpha \right|}}.}
α الموجود فيه. مع أو بدون رموز القيمة المطلقة، لا تنطبق هذه الصيغ عندما يكون البسط والمقام على الطرف الأيمن صفرًا.
أيضًا، باستخدام صيغ جمع وطرح الزوايا لكل من جيب التمام وجيب التمام، نحصل على:
cos
(
a
+
b
)
=
cos
a
cos
b
−
sin
a
sin
b
cos
(
a
−
b
)
=
cos
a
cos
b
+
sin
a
sin
b
sin
(
a
+
b
)
=
sin
a
cos
b
+
cos
a
sin
b
sin
(
a
−
b
)
=
sin
a
cos
b
−
cos
a
sin
b
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\\cos(a-b)&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\\\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\\sin(a-b)&=\sin a\cos b-\cos a\sin b\end{aligned}}}
sin
(
a
+
b
)
+
sin
(
a
−
b
)
=
sin
a
cos
b
+
cos
a
sin
b
+
sin
a
cos
b
−
cos
a
sin
b
=
2
sin
a
cos
b
cos
(
a
+
b
)
+
cos
(
a
−
b
)
=
cos
a
cos
b
−
sin
a
sin
b
+
cos
a
cos
b
+
sin
a
sin
b
=
2
cos
a
cos
b
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(a+b)+\sin(a-b)\\[5mu]&\quad =\sin a\cos b+\cos a\sin b+\sin a\cos b-\cos a\sin b\\[5mu]&\quad =2\sin a\cos b\\[15mu]&\cos(a+b)+\cos(a-b)\\[5mu]&\quad =\cos a\cos b-\sin a\sin b+\cos a\cos b+\sin a\sin b\\[5mu]&\quad =2\cos a\cos b\end{aligned}}}
a
=
1
2
(
p
+
q
)
{\textstyle a={\tfrac {1}{2}}(p+q)}
b
=
1
2
(
p
−
q
)
{\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}(p-q)}
sin
p
+
sin
q
=
sin
(
1
2
(
p
+
q
)
+
1
2
(
p
−
q
)
)
+
sin
(
1
2
(
p
+
q
)
−
1
2
(
p
−
q
)
)
=
2
sin
1
2
(
p
+
q
)
cos
1
2
(
p
−
q
)
cos
p
+
cos
q
=
cos
(
1
2
(
p
+
q
)
+
1
2
(
p
−
q
)
)
+
cos
(
1
2
(
p
+
q
)
−
1
2
(
p
−
q
)
)
=
2
cos
1
2
(
p
+
q
)
cos
1
2
(
p
−
q
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin p+\sin q\\[5mu]&\quad =\sin \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)+\sin \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)\\[5mu]&\quad =2\sin {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)\\[15mu]&\cos p+\cos q\\[5mu]&\quad =\cos \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)+\cos \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)\\[5mu]&\quad =2\cos {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)\end{aligned}}}
sin
p
+
sin
q
cos
p
+
cos
q
=
2
sin
1
2
(
p
+
q
)
cos
1
2
(
p
−
q
)
2
cos
1
2
(
p
+
q
)
cos
1
2
(
p
−
q
)
=
tan
1
2
(
p
+
q
)
{\displaystyle {\frac {\sin p+\sin q}{\cos p+\cos q}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)}{2\cos {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)}}=\tan {\tfrac {1}{2}}(p+q)}
أضلاع هذا المعين لها طول يساوي 1. الزاوية المحصورة بين المستقيم الأفقي والقطر الموضح تساوي 1 / 2 a + b )tan 1 / 2 a + b ) = (sin a + sin b ) / (cos a + cos b ) . الصيغتان sin 1 / 2 a + b ) و sin 1 / 2 a + b ) هي نسب المسافات الفعلية إلى طول القطر. بتطبيق الصيغ المشتقة أعلاه على المعين الموجود على اليسار، يتضح ذلك بسهولة أن:
tan
1
2
(
a
+
b
)
=
sin
1
2
(
a
+
b
)
cos
1
2
(
a
+
b
)
=
sin
a
+
sin
b
cos
a
+
cos
b
{\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}={\frac {\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}}}
دائرة الوحدة ، تطبيق ما سبق يوضح ذلك أن
t
=
tan
1
2
φ
{\textstyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi }
تشابه المثلثات ، نلاحظ أن:
t
sin
φ
=
1
1
+
cos
φ
{\displaystyle {\frac {t}{\sin \varphi }}={\frac {1}{1+\cos \varphi }}}
t
=
sin
φ
1
+
cos
φ
=
sin
φ
(
1
−
cos
φ
)
(
1
+
cos
φ
)
(
1
−
cos
φ
)
=
1
−
cos
φ
sin
φ
{\displaystyle t={\frac {\sin \varphi }{1+\cos \varphi }}={\frac {\sin \varphi (1-\cos \varphi )}{(1+\cos \varphi )(1-\cos \varphi )}}={\frac {1-\cos \varphi }{\sin \varphi }}}
[ عدل ] برهان هندسي على تعويض فايرشتراس في التطبيقات المختلفة لحساب المثلثات ، من المفيد إعادة كتابة الدوال المثلثية (مثل الجيب وجيب التمام ) بدلالة الدوال الكسرية لمتغير جديد
t
{\displaystyle t}
صيغ ظل نصف الزاوية بسبب تعريف
t
{\displaystyle t}
حساب التفاضل والتكامل لتحويل الدوال الكسرية بدلالة الجيب وجيب التمام إلى دوال t مشتقاتها العكسية .
هندسيًا، تُنْشَأ على النحو التالي: من أجل أي نقطة (cos φ , sin φ ) على دائرة الوحدة ، نرسم المستقيم الذي يمر عبرها وعبر النقطة (−1, 0) ويقطع محور y y = t t = tan(φ/2)y = (1 + x )t معادلة تربيعية تتضمن t (−1, 0) و (cos φ , sin φ ) . هذا يسمح لنا بكتابة الأخير دوالًا كسرية لـ t
يمثل الوسيط t الإسقاط المجسامي للنقطة (cos φ , sin φ ) على محور y (−1, 0) . وبالتالي، فإن صيغ ظل نصف الزاوية تعطي تحويلات بين الإحداثيات المجسامية t φ
عندئذ لدينا:
sin
φ
=
2
t
1
+
t
2
,
cos
φ
=
1
−
t
2
1
+
t
2
,
tan
φ
=
2
t
1
−
t
2
cot
φ
=
1
−
t
2
2
t
,
sec
φ
=
1
+
t
2
1
−
t
2
,
csc
φ
=
1
+
t
2
2
t
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[8pt]&\tan \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}}&&\cot \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},&&\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\end{aligned}}}
e
i
φ
=
1
+
i
t
1
−
i
t
,
e
−
i
φ
=
1
−
i
t
1
+
i
t
.
{\displaystyle e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it}},\qquad e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it}}.}
t
{\displaystyle t}
لقوس الظل بدلالة اللوغاريتم الطبيعي :
2
arctan
t
=
−
i
ln
1
+
i
t
1
−
i
t
.
{\displaystyle 2\arctan t=-i\ln {\frac {1+it}{1-it}}.}
حساب التفاضل والتكامل ، يُستخدم تعويض فايرشتراس لإيجاد المشتقات العكسية للدوال الكسرية لـ sin φ و cos φ . بعد وضع:
t
=
tan
1
2
φ
{\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi }
φ
=
2
arctan
(
t
)
+
2
π
n
{\displaystyle \varphi =2\arctan(t)+2\pi n}
n
d
φ
=
2
d
t
1
+
t
2
{\displaystyle d\varphi ={{2\,dt} \over {1+t^{2}}}}
بوابة رياضيات![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(\eta \pm \theta )&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\eta \pm \tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1\mp \tan {\tfrac {1}{2}}\eta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }},\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {\tan \theta }{\sec \theta +1}}={\frac {1}{\csc \theta +\cot \theta }},&&(\eta =0)\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sec \theta -1}{\tan \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ,&&(\eta =0)\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}{\big (}\theta \pm {\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}&={\frac {1\pm \sin \theta }{\cos \theta }}=\sec \theta \pm \tan \theta ={\frac {\csc \theta \pm 1}{\cot \theta }},&&{\big (}\eta ={\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}{\big (}\theta \pm {\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}&={\frac {\cos \theta }{1\mp \sin \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \mp \tan \theta }}={\frac {\cot \theta }{\csc \theta \mp 1}},&&{\big (}\eta ={\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}\\[10pt]{\frac {1-\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1+\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[10pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84fb3ea7a5c8629322fc19a50d20c1448ee14f3a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\cos \alpha &={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\tan \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f899c4e77dce03f2aef730fab0a3bf17cf5fd6a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(a+b)+\sin(a-b)\\[5mu]&\quad =\sin a\cos b+\cos a\sin b+\sin a\cos b-\cos a\sin b\\[5mu]&\quad =2\sin a\cos b\\[15mu]&\cos(a+b)+\cos(a-b)\\[5mu]&\quad =\cos a\cos b-\sin a\sin b+\cos a\cos b+\sin a\sin b\\[5mu]&\quad =2\cos a\cos b\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96547c167b37c9daed3cd0c99ec6574f91420075)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin p+\sin q\\[5mu]&\quad =\sin \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)+\sin \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)\\[5mu]&\quad =2\sin {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)\\[15mu]&\cos p+\cos q\\[5mu]&\quad =\cos \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)+\cos \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)\\[5mu]&\quad =2\cos {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a074e9eeed47f234615d29f565feef1f7cdf77f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[8pt]&\tan \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}}&&\cot \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},&&\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3146d534fd7e56bc5bb613e5e1ec8b6262ab05)
