حساب المثلثات الكروية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
مختصر لأهم العلاقات المثلثية في الهندسة الكروية


في الرياضيات، حساب المثلثات الكروية (بالإنجليزية: Spherical Trigonometry)‏ هو فرع من فروع الهندسة الكروية، يهتم بالعلاقة الموجودة بين الدوال المثلثية لزوايا المضلعات الكروية (وبالتحديد المثلثات الكروية، مثلثات رُسمن على كرة) محددات من قبل عدد من الدوائر العظمى المتقاطعة على الكرة. حساب المثلثات الكروية له أهمية كبيرة للحسابات في علم الفلك والجيوديسيا والملاحة.

من أجل المزيد من المعلومات حول أصول حساب المثلثات الكروية عند الإغريق والتطورات المهمة اللائي عرفها هذا المجال في العصر الإسلامي، انظر إلى تاريخ حساب المثلثات وإلى الرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية.

جاء هذا الموضوع ليؤتي ثماره في العصور الحديثة المبكرة مع تطورات مهمة قام بها جون نابير وديلامبر وآخرون، وحصل على شكل كامل بشكل أساسي بحلول نهاية القرن التاسع عشر مع نشر كتاب تودهنتر "Spherical trigonometry for the use of colleges and Schools".[1] ومنذ ذلك الحين، تطورات مهمة كانت تطبيق طرق المتجهات واستخدام الطرق العددية.

التمهيدات[عدل]

ثمانية مثلثات كروية محددة بتقاطع ثلاث دوائر عظمى.

المضلعات الكروية[عدل]

المضلع الكروي هو متعدد الجوانب يقع على سطح الكرة يحدده عدد من أقواس الدوائر العظمى، والتي هي تقاطع السطح مع مستويات مارة بمركز الكرة. قد يكون لهذه متعددات الجوانب (تسمى أيضًا الأقواس) أي عدد من الجوانب. مستويان يحددان هلالًا، يُطلق عليه أيضًا اسم "مضلع ثنائي" أو ثنائي الزوايا. النظير ثنائي الأضلاع للمثلث: مثال شائع هو السطح المنحني لقطعة كروية لبرتقالة. تحدد ثلاث مستويات مثلثا كرويا، الموضوع الرئيسي لهذه المقالة. تحدد أربع مستويات رباعيا كرويا: مثل هذا الشكل، والمضلعات ذات عدة أضلاع، يمكن دائمًا اعتبارها على أنها عدد من المثلثات الكروية.

من هذه النقطة سيقتصر المقال على مثلثات كروية، يشار إليها ببساطة على أنها "مثلثات".

الترميز[عدل]

  • يُشار إلى كل من الرؤوس والزوايا في الرؤوس بالحروف الكبيرة نفسها A و B و C.
  • الزوايا A، وB وC للمثلث متساوية مع الزوايا بين المستويات التي تتقاطع مع سطح الكرة. تقاس الزوايا بالراديان. تكون زوايا المثلثات الكروية "العادية" (بالاتفاقية) أقل من π بحيث تكون π < A + B + C < 3π.[1]
  • يُشار إلى الأضلاع (الأقواس أو جوانب المثلث) بأحرف صغيرة a، وb و c. على كرة الوحدة (كرة نصف قطرها يساوي 1)، أطوالها تساوي عدديًا قياس الزوايا التي تقابل أقواس الدائرة العظمى في المركز بالراديان. أضلاع المثلثات الكروية "العادية" تكون (بالاتفاقية) أقل من π بحيث يكون 0 < a + b + c < 2π.[1]
  • نصف قطر الكرة يؤخذ كوحدة (يساوي 1). بالنسبة للمعضلات العملية المحددة في نصف قطر الكرة R، يجب قسمة الأطوال المقاسة للأضلاع على R قبل استخدام المتطابقات الواردة أدناه. بطريقة مماثلة، بعد حساب في كرة الوحدة، يجب ضرب الأضلاع a، وb وc في R.

المثلثات القطبية[عدل]

المثلث القطبي A'B'C'

على الكرة التي مركزها O، نعتبر نقطتين A و B متمايزتين وليست متعاكستين قطريا. المستقيم الذي يشمل O ويعامد المستوي OAB ويقطع الكرة في نقطتين تسمى أقطاب المستوي (OAB).

بالنسبة للمثلث "العادي" ABC المرسوم على كرة، نسمي C' قطب المستوي (OAB) الواقع على نفس نصف الكرة التي تقع فيه C. نقوم بانشاء النقطتين A' وB' بنفس الطريقة. يسمى المثلث (A'B'C) بالمثلث القطبي للمثلث ABC.

تثبت مبرهنة مهمة جدًا[1] أن زوايا وأضلاع المثلث القطبي تُعطى بواسطة:

لذلك، إذا تم إثبات أي متطابقة للمثلث ABC، فيمكننا على الفور اشتقاق متطابقة ثانية بتطبيق المتطابقة الأولى على المثلث القطبي عن طريق إجراء التعويضات المذكورة أعلاه. هذه هي الطريقة التي يتم اشتقاق معادلات جيب التمام التكميلية من معادلات جيب التمام. المثلث القطبي للمثلث القطبي هو المثلث الأصلي.

مجموع زوايا المثلثات[عدل]

قد يصل مجموع زوايا المثلثات الكروية إلى أي 900°، وقد يصل مجموع زوايا المثلثات الكروية "العادية" إلى أي 540°.

قوانين الجيب وجيب التمام[عدل]

قانون جيب التمام[عدل]

قانون جيب التمام هي المتطابقة الأساسية لحساب المثلثات الكروية: جميع المتطابقات الأخرى، بما في ذلك قانون الجيب، قد تكون مشتقة من قاعدة جيب التمام.

تقارب هذه المتطابقات قاعدة جيب التمام للمثلثات المسطحة إذا كانت الأضلاع أصغر بكثير من نصف قطر الكرة. (في كرة الوحدة، إذا كانت a, b, c << 1: نضع و وهكذا.)

في حال كانت أطوال الأقواس الثلاثة بالمثلث الكروي معلومة فيمكن استنتاج قيمة الزاوية المقابلة لكل قوس هكذا :

قانون الجيب[عدل]

تعطى قانون الجيب للمثلثات الكروية بواسطة الصيغة التالية:

تقارب هذه المتطابقات قانون الجيب للمثلثات المسطحة عندما تكون الأضلاع أصغر بكثير من نصف قطر الكرة.

المتطابقات[عدل]

قواعد جيب التمام التكميلية[عدل]

تطبيق قواعد جيب التمام على المثلث القطبي يعطي، أي تعويض A بـ π-a، وa ب π-A ...، إلخ.

صيغ ظل التمام للأجزاء الأربعة للمثلث[عدل]

يمكن كتابة الأجزاء الستة للمثلث بترتيب دائري كـ (aCbAcB). تربط "صيغ ظل التمام"، أو "صيغ الأجزاء الأربعة"، قوسين وزاويتين مشكلة أربعة أجزاء متتالية حول المثلث، على سبيل المثال (aCbA) أو (BaCb). في مثل هذه المجموعة توجد أجزاء داخلية وخارجية: على سبيل المثال في المجموعة (BaCb) تكون الزاوية الداخلية C، والقوس الداخلي هو a، والزاوية الخارجية B، والقوس الخارجي هو b. يمكن كتابة قاعدة ظل التمام على النحو التالي: [1]

cos (القوس الداخلي) cos(الزاوية الداخلية) = cot(القوس الخارجي) sin(القوس الداخلي) - cot(الزاوية الخارجية) sin(الزاوية الداخلية)

والمقصود بخارجية وخارجي هُنا أي تقع في الشِّقِّ الثاني من المُعادلة بعد علامة "="، وداخلية وداخلي مقصود يقعان قبل علامة يساوي ولذلك توضع الخوارج على طرفي القوسين والدواخل في وسطي القوسين بين الرَّمزين اللذين على الطرفين اليمين واليسار.

وتكتب المعادلة بحيث يكون الدواخل قبل علامة = على اليسار مع دالة الجيب sin والخوارج مع دالة ظل التمام cot ؛

والمعادلات السِّتَّة المُمْكِنة هي (مع المجموعة ذات الصلة الموضحة على اليمين):

قَد يكون القانون أسهل لو كتب بصيغة دالَّة الظِّل tan في المَقام هكذا :

حيث b و C داخليان أي مع دالة الجيب وفي الطرف الذي يسبق علامة = من المُعادلة ، a و A خارجيان أي مع دالة الظل tan في المقام والتي = المعكوس الضَّربي لدالة ظل التمام ويلاحظ أن a و A عبارة عن زاوية وقوس مقابلة لها عكس ، C و b حيث لا عِلاقة بينهما ؛

ملحوظة : الرَّموز ( . ) و ( * ) و ( × ) أو الفراغ ( ) بين رمزين كُلها تُشير للضرب في المُعادلات .

متطابقات نصف الزاوية ونصف الضلع[عدل]

مع و:

يبدأ إثبات [1] الصيغة الأولى من المتطابقة ، باستخدام قانون جيب التمام للتعبير عن A بدلالة القوسين وتعويض مجموع جيب التمام بجداء (طالع متطابقات التحويل من المجموع إلى الجداء). تبدأ الصيغة الثانية من المتطابقة ، والصيغة الثالثة هي حاصل القسمة ويتبع الباقي بتطبيق النتائج على المثلث القطبي.

صيغ ديلامبر (أو غاوس)[عدل]

صيغ نابير[عدل]

فيما يلي صيغ نابير:[2]


قواعد الأجزاء الخمسة[عدل]

التعويض بقانون جيب التمام الثالث في القانون الأول وتبسيطه يعطي:

يعطي حذف العامل  :

تعطي التعويضات المشابهة في صيغ جيب التمام والصيغ التكميلية لجيب التمام مجموعة كبيرة ومتنوعة من قواعد الأجزاء الخمسة. ولكنها نادرا ما تُستخدَم.

التاريخ[عدل]

طالع تاريخ حساب المثلثات.

مراجع[عدل]

  1. أ ب ت ث ج ح Isaac Todhunter (1886). Spherical Trigonometry (باللغة الإنجليزية) (الطبعة 5). MacMillan. مؤرشف من الأصل في 14 أبريل 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Napier's Analogies". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 18 مارس 2020. اطلع عليه بتاريخ 11 أغسطس 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

انظر أيضا[عدل]

وصلات خارجية[عدل]