دوال مثلثية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في الرياضيات، الدوال المثلثية أو التوابع المثلثية (بالإنجليزية: Trigonometric Functions) هي دوال لزاوية هندسية.[1][2][3] وهي دوال مهمة عندما يُراد دراسة مثلث أوعرض ظواهرِ دورية أو متكررة كالموجات. يمكن تعريف هذه الدوال نسبةً بين أضلاع مثلث قائم يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية إحداثياتٍ على دائرة مثلثية أو دائرة واحدية. يعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات أن الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى إحداثي أو إقليدي)، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما.

الدوال المثلثية الأكثر انتشارا هي دالة الجيب (يرمز إليها ب Sin) ودالة الجيب التمام (يرمز إليها ب Cos) ودالة الظل (يرمز إليها ب Tg أو Tan).

التعريف باستعمال المثلث قائم الزاوية[عدل]

في مثلث قائم الزاوية، جيب زاوية هو النسبة بين الضلع المقابل والوتر. أي حاصل قسمة الضلع المقابل للزاوية على وتر المثلث القائم الزاوية. أما الجيب التمام لزاوية في مثلث قائم الزاوية فهو النسبة بين الضلع المحادي للزاوية ووتر المثلث.


توجد ثلاثة دوال مثلثية أساسية هي:

  • الجيب، ويساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية مقسوما على الوتر.
  • جيب التمام، ويساوي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية مقسوما على الوتر.
  • الظل، ويساوي النسبية بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها.
الاسم الترميز العربي الترميز اللاتيني العلاقة الرياضياتية
جيب جا sin
جيب تمام جتا cos
ظل ظا tan
ظل تمام ظتا cot
قاطع قا sec
قاطع تمام قتا csc


بيان للعلاقة بين دالتي الجيب (باللون الأحمر) الجيب التمام (باللون الأزرق) طور موجة. Cosine is identical, but π/2 راديان out of طور موجة to the left; so cos A = sin(A + π/2).

التعريف باستعمال دائرة الوحدة[عدل]

يمكن أن تعرف الدوال المثلثية الستة بواسطة دائرة الوحدة(دائرة شعاعها يساوي الواحد ومركزها هو أصل المَعلم).

يمكن هذا التعريف من تعريف الدوال المثلثية بالنسبة لجميع الأعداد الموجبة والسالبة وليس فقط الأعداد المحصورة بين الصفر وπ/2 راديان.

التعريف باستعمال المتسلسلات[عدل]

دالة الجيب (باللون الأزرق) تحسب بصفة تقريبية اقترابا كبيرا بواسطة متعددة الحدود لتايلور من الدرجة السابعة (باللون الوردي) بالنسبة لدورة كاملة متمركزة حول أصل المَعلم.

الدوال المثلثية هي دوال تحليلية. يمكن تمثيل جميع الدوال المثلثية بواسطة متسلسة تايلور كالتالي:

الزاوية x مقاسة بالتقدير الدائري في جميع السلاسل التالية

جيب الزاوية:

جيب تمام الزاوية:

تعتبر هاتان الصيغتان في بعض الأحيان تعريفيت لدالتي الجيب والجيب التمام. عادة ما تُستعملان نقطة بداية في إطار التطرق القوي والدقيق إلى الدوال المثلثية (على سبيل المثال متسلسلة فورييه).

ظل الزاوية:

قاطع تمام:

قاطع:

ظل تمام:

التقريب بالجذور

مثال :

العلاقة بدالة الأس وبالأعداد العقدية[عدل]

يمكن أن يُبين من خلال التعريفات باستعمال المتسلسلات بأن دالتي الجيب والجيب التمام هما الجزء العقدي والجزء الحقيقي على التوالي، لدالة الأس المطبقة على الأعداد العقدية، حين يكون مدخلها عددا تخيليا صرفا:

تسمى هاته المتطابقة بصيغة أويلر. هكذا، تصير الدوال المثلثية مركزية وأساسية في الفهم الهندسي للتحليل العقدي.

قد تستعمل صيغة أويلر للحصول على بعض المتطابقات المثلثية، وذلك بكتابة دالتي الجيب والجيب التمام كما يلي:

بالإضافة إلى ذلك، يمكن هذا الأمر من تعريف الدوال المثلثية على الأعداد العقدية.

انظر إلى دالة كاملة.

التعريف بواسطة المعادلات التفاضلية[عدل]

كل من دالتي الجيب والجيب التمام تحققان المعادلة التفاضلية التالية:

بتعبير آخر، كل منهما تساوي مقابل مشتقتها من الدرجة الثانية.

متطابقات[عدل]

هناك عدد من المتطابقات تربط الدوال المثلثية بعضها ببعض. تعتبر متطابقة فيتاغورس واحدة من أكثر المتطابقات انتشارا واستعمالا. تنص هاته المتطابقة على أن مجموع مربع جيب زاوية ما، ومربع الجيب التمام لهاته الزاوية يساوي واحدا.

حيث يرمزsin2 x + cos2 x إلى sin x)2 + (cos x)2).

الحساب[عدل]

حساب قيم الدوال المثلثية موضوع صعب ومعقد.

الدوال العكسية[عدل]

الدوال المثلثية دورية، وبذلك، هي ليست تباينية، وبالتالي ليس لديها دالة عكسية. لهذا السبب، يصير من الضروري تقليص مجال تعريفها من أجل تعريف دالة عكسية، حتى الدوال المثلثية دوالا تقابلية.

الدالة التعريف مجال التعريف

يُمكن للدوال المثلثية العكسية أن تعرف بواسطة المتسلسلات تماما كما هو الحال بالنسبة للدوال المثلثية. على سبيل المثال،

خصائص وتطبيقات[عدل]

قانون الجيب[عدل]

انظر إلى قانون الجيب.

منحنى ليساجو، شكل كُون باستعمال دوال تعتمد على الدوال المثلثية.

قانون الجيب التمام[عدل]

انظر إلى قانون جيب التمام.

وقد تكتب هاته الصيغة كما يلي:

قانون الظل[عدل]

قانون الظل التمام[عدل]

الدوال الدورية[عدل]

انقر على الصورة من أجل النظر إلى صورة متحركة of the additive synthesis of a موجة مربعية with an increasing number of harmonics

الدوال المثلثية مهمة أيضا في الفيزياء. انظر إلى الحركة التوافقية البسيطة.

التاريخ[عدل]

تعود الدراسات الأولى لعلم المثلثات إلى العصور القديمة. ولكن الدوال المثلثية، كما تُعرف حاليا، طُورت في العصور الوسطى. على سبيل المثال، تم اكتشاف الوتر من قبل هيبارخوس (180-125 قبل الميلاد) وبطليموس عالم مصري عندما كانت مصر مقاطعة رومانية (90-165م).

الدوال المثلثية الست المستعملة حاليا كُن معروفات في الرياضيات الإسلامية خلال القرن التاسع، كما كان معروفا قانون الجيب، والذي كان يستعمل في معضلة حلحلة المثلثات.

أنتج محمد بن موسى الخوارزمي جداول لدوال الجيب والجيب التمام والظل. درست هذه الدوال من طرف علماء من أمثال عمر الخيام في القرنين الحادي عشر والثاني عشر وبهاسكارا الثاني في القرن الثاني عشر ونصير الدين الطوسي في القرن الثالث عشر وغياث الدين الكاشي في القرنين الرابع عشر والخامس عشر وأولوغ بيك في القرن الخامس عشر ويوهانس مولر فون كونيغ بورغ الألماني في القرن الخامس عشر و جورج شواكيم ريتيكوس في القرن السادس عشر وتلميذه فالنتينوس أوتو الألمانيين في القرن السادس عشر.

قام مادهافا السنغماراي (في حوال عام 1400) بتطورات مبكرة ومهمة في تحليل الدوال المثلثية في اتجاه المتسلسلات غير المنتهية.

في مقال نُشر عام 1682، برهن غوتفريد لايبنتس على أن دالة الجيب التمام sin x ليست بدالة جبرية ل x.

تمثيل بياني لدالة جيب التمام[عدل]

Cosinus.svg

تمثيل بياني لدالة الجيب[عدل]

Sinus.svg

الظل التمام لزاوية[عدل]

صورة (1)
تمثيل بياني لدالة ظل التمام

ظل تمام الزاوية (بالإنجليزية: Cotangent) هو النسبة بين جيب التمام والجيب لنفس الزاوية أي مقلوب ظل الزاوية.

يُرمَز ظل التمام بـ أو .

يمكن التعبير عن ظل تمام الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:

التظل هو مقلوب الظل ويساوي المجاور على المقابل. مثال:

Tan-ar.JPG

مثلا: طول الضلع [أج] =15 سنتمتر طول الضلع [أب] =10 سنتمتر طول الضلع [ج ب] (الوتر) =19 سنتمتر لحساب تظل(cotan) الزاوية ب : المجاور [أب] / المقابل [أج] 10 / 15 = 0.66 إذن: تظل(cotan) الزاوية ب هو: 0.66

مشتق دالة ظل التمام[عدل]

مشتق الدالة هو :

إنظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ Katx، Victor (July 2008). A history of mathematics (باللغة الإنجليزية) (الطبعة 3rd). Boston: Pearson. صفحة 210 (sidebar). ISBN 978-0321387004. 
  2. ^ "Clark University". مؤرشف من الأصل في 18 ديسمبر 2017. 
  3. ^ A Note on the History of the Trigonometric Functionsin Ceccarelli (ed.), International Symposium on History of Machines and Mechanisms, Springer, 2004
    See Maor (1998), chapter 3, for an earlier etymology crediting Gerard.
    See Katx، Victor (July 2008). A history of mathematics (باللغة الإنجليزية) (الطبعة 3rd). Boston: Pearson. صفحة 210 (sidebar). ISBN 978-0321387004.  نسخة محفوظة 10 يونيو 2018 على موقع واي باك مشين.