انحراف مجموع مقلوبات الأعداد الأولية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

مجموع مقلوبات الأعداد الأولية هو متسلسلة متباعدة حيث أن:

\sum_{p\text{ prime }}\frac1p = \frac12 + \frac13 + \frac15 + \frac17 + \frac1{11} + \frac1{13} + \frac1{17} +\cdots = \infty.

كان ليونارد أويلر قد برهن على ذلك في 1737، كما أنها تعزيز لمبرهنة إقليدس في القرن الثالث الميلادي التي تنص على أن هناك عدد لا منته من الأعداد الأولية.

يوجد العديد من البراهين على نتيجة أويلر بما فيها الحد الأدنى للمجاميع الجزئية الذي ينص على:


\sum_{\scriptstyle p\text{ prime }\atop \scriptstyle p\le n}\frac1p \ge \ln \ln (n+1) - \ln\frac{\pi^2}6

لجميع الأعداد الطبيعية n.

المتسلسلات المتناسقة[عدل]

البرهان الأول[عدل]

صيغة مبسطة للبرهان أعلاه[عدل]


\begin{align}
& {} \quad \ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) = \ln \left( \prod_p \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_p \ln \left( \frac{p}{p-1}\right) = \sum_p \ln\left(1+\frac{1}{p-1}\right)
\end{align}

وبما أنه

 e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,

فإن ex > 1 + x و (x > ln(1 + x. وهكذا :

 \sum_p \ln\left(1+\frac{1}{p-1}\right) < \sum_p \frac{1}{p - 1}

ومنه فإن \sum_p \frac{1}{p-1} متباعد. ولكن \frac{1}{p_i-1}< \frac{1}{p_{i-1}}

حيث pi هو العدد الأولي من الرتبة i. وبالتالي \sum_p \frac{1}{p} متسلسلة متباعدة.

البرهان الثاني[عدل]

البرهان الثالث[عدل]

البرهان الرابع[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Midori Extension.svg هذه بذرة مقالة بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.