معادلة موجية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

المعادلة الموجية في الفيزياء هي معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية تصف بشكل عام حركة الأمواج سواء كانت امواجا صوتية أو ضوئية أو مائية . تدرس الفيزياء انتشار تلك الموجات . ينشأ الصوت من موجات صوتية ، وينشأ الضوء من موجات كهرومغناطيسية وتدرس موجات الموائع في ديناميكا الموائع.

وتاريخيا فكان الصوت هو أول ما درسه العلماء في اهتزاز الأوتار في مختلف الآلات الموسيقية . واهتم بتلك الدراسا العلماء "جين دي لامبرت" و "ليونهارد أويلار " و "دانيل بيرنولي" و جوزيف لاغرانج .[1][2][3][4]

حركة نبضة عبر وتر مربوط من طرفيه كنموذج لمعادلة موجية .
موجة كروية تنتشر من نقطة. تنتشر الموجة هنا في بعدين .

المعادلة الموجية[عدل]

تكتب المعادلة الموجية على الصورة:

  \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \right)  = 0

لدالة حقيقية أو دالة مركبة u(t,x_1\dots x_n)\,. تعتمد على المكان والزمن ، مثل تلك الدالة (النبضة) قد يكون مثلا التغير في مطال المجال الكهربائي أو مطال المجال المغناطيسي لموجة ضوئية.

تسمى هذه المعادلة "معادلة دي لامبرت" . وإذا استخدمنا t'=c\,t\,, للزمن في المعادلة الموجية الضوئية (حيث c سرعة الضوء في الفراغ ) ، فإن c^2 سوف تختفي من المعادلة ، حيث أنها تعتبر إذن مساوية للواحد ( c=1\,. ).

وحل تلك المعادلة ينتج موجة. ونظرا لكون معاملات الدالة الموجية لا تعتمد على المكان ولا تعتمد على الزمن فإن انتشار الموجات أيضا لا يتغير من مكان إلى مكان أو مع الزمن . الموجات المتأخرة أو الموجات المنزاحة هي أيضا موجات ولكنها تكون منزاحة الطور.

كما توجد "معادلة موجية غير متجانسة " وهي تتكون من معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة :

 \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}- \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \right) = v(t,x_1\dots  x_n)\,.

حل المعادلة الموجية المتجانسة في بعد واحد[عدل]

يمكن صياغة المعادلة الموجية المتجانسة في بعد واحد كالآتي:

\frac 1{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =0

هذه الموجة تنتشر في بعد واحد وهو المحور السيني x ، والحل العام لهذه المعادلة هو:

u\left(t, x\right) = f(x + ct) + g(x - ct)

وهي تتكون من دالتين f(x)\, و g(x)\, قابلتين للتفاضل مرتين . وفيها يشكل الجمع الأول موجة منتشرة بالسرعة c إلى اليسار ويشكل الجمع الثاني موجة منتشرة بنقس السرعة إلى اليمين . ويمكن كتابة تلك الدالتين f و g كدالات جيبية خطية :

 \cos(k x - \omega t + \varphi)

أو كدالات أسية مركبة :

\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x - \omega t)}\,
u(t,x)=\text{Re}\int\mathrm d k\,a(k)\,
\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k\, x -\omega\,t)}

ويعتمد التردد :

\omega = |k|\,c

على القيمة المطلقة للعدد الموجي |k|\, .

يحتوي المطال المركب a(k) على طور الموجة \varphi{(k)} .

الحل بوضع قيم مبدئية[عدل]

نفترض الحدود المبدئية للحل العام للدالة الموجية u\left(t,x\right) = f(x + ct) + g(x - ct) باختيار قيم الدالة عند الزمن = 0 :

u\left(0,x\right)=\phi (x)

والقيمة المبدئية للمشتقة بالنسبة للزمن :

\tfrac{\partial u}{\partial t} \left(0,x\right)=u_t(0,x)=\psi (x)

ينتج عن تلك الحدود المبدئية الآتي:

\phi(x)=u\left(0,x\right)=f(x)+g(x)
\psi(x)=u_t\left(0,x\right)=c\left(f'(x)-g'(x)\right)

وبإجراء التكامل على المعادلة الثانية:

f(x)-g(x)=\frac{1}{c}\int_{x_0}^x \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi,

وبحل المعادلة نحصل على :

f(x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x)+\frac{1}{c}\int_{x_0}^x \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)
g(x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x)+\frac{1}{c}\int_x^{x_0} \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)

ويصبح حل المعادلة الموجية عند الحدود المبديئة المختارة هو :

u(t,x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x+ct)+\phi(x-ct)+\frac{1}{c}\int_{x-ct}^{x+ct} \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)

المعادلة الموجية في ثلاثة أبعاد[عدل]

يمكن حل المعادلة الموجية في ثلاثة ابعاد (للمكان) باعتبارها مجموعة خطية لموجات مستوية:

\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf k \mathbf x -\omega t)}\ \text{with}\ 
\omega = \left|\mathbf k\right| c

تنتشر تلك الموجة المستوية بالسرعة c في الاتجاه \mathbf k.

ويكون حلها العام على الصورة  :

u(t,\mathbf x)=\text{Re}\int\mathrm d^n k\,a(\mathbf{k})\,
\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf k\, \mathbf x -|\mathbf{k}|\,c\, t)}

وهي تحتوي هنا على الشق الحقيقي Re ، ولكن هذا الحل العام لم يأخذ القيم المبدئية في الحسبان التي تؤثر على النتيجة النهائية .

يمكن حل المعادلة الموجية في ثلاثة ابعاد عن طريق افتراض متوسط للقيم المبدئية. فبافتراض أن الدالة u(t,\mathbf x) و مشتقتها بالنسبة للزمن كانتا \phi و \psi عند t=0 ، نحصل على:

u(0,\mathbf x)=\phi(\mathbf x)\,,\ 
\frac \partial {\partial t} u(0,\mathbf x)=\psi(\mathbf x)\,,

ويكون حل العادلة الموجية هو المجموعة الخطية متوسطات (بافتراض أن c=1 للتبسيط):

u(t,\mathbf x)=t\,M_{t,\mathbf x}[\psi] +
\frac \partial {\partial t}(t\,M_{t,\mathbf x}[\phi])

وفيها تعني :


M_{t,\mathbf x}[\chi]=\frac{1}{4\,\pi}
\int_{-1}^{1}\!\!\mathrm d \cos\theta \int_0^{2\pi}\!\!\mathrm d \varphi\, 
\chi(\mathbf x + t\mathbf n(\theta, \varphi))\quad \text{with}\quad 
\mathbf n(\theta, \varphi)=
\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\varphi\\\sin\theta\sin\varphi\\\cos\theta
\end{pmatrix}

القيمة المتوسطة للدالة \chi\,, وقد حـُسب المتوسط لسطح كرة حول النقطة \mathbf x بنصف القطر |t|\!\, . ويصبح :

M_{0,\mathbf x}[\chi]=\chi(\mathbf x)\!\,.

وكما يتضح أن حل العادلة يعتمد على القيم المبدئية المختارة / وهو يعتمد عند الزمن t عند المكان \mathbf x على القيمة المبيدئية فقط للمكان \mathbf y والتي نصل بها إلى \mathbf x خلال الفترة الزمنية |t| بسرعة الضوء c=1 .

موجة كرية ذات تردد معين[عدل]

يهتز مصدر نقطي بتردد معين f و طور موجة = 0 عند الزمن t = 0 حيث المسافة بين قمتين 2a (طول موجة). وتنتشر من تلك النقطة موجة كروية . سيتغير طور الوجة المنتشرة بالقيمة kr حيث r هي المسافة المقطوعة بعيدا عن المصدر . ويقل مطال الموجة طبقا لـ 1/r حيث أن الطاقة ستنخفض طبقا لـعلاقة r−2.

وبذلك يبلغ مطال الموجة الكروية [5] عند المسافة r :

u(t,r)= Re \left[ \frac{a}{r} e^{i \left( \omega t - kr \right)} \right]

Re هو الشق الحقيقي من حل معادلة الموجة الكرية مع إهمال الشق التخيلي .

المراجع[عدل]

  1. ^ Cannon، John T.؛ Dostrovsky، Sigalia (1981). The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 6. New York: Springer-Verlag. صفحات ix + 184 pp. ISBN 0-3879-0626-6.  Lua error in وحدة:Citation/CS1 at line 92: Argument map not defined for this variable. (retrieved 13 Nov 2012).
  2. ^ Gerard F Wheeler. The Vibrating String Controversy, (retrieved 13 Nov 2012). Am. J. Phys., 1987, v55, n1, p33-37.
  3. ^ For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.
  4. ^ For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)
  5. ^ RS Longhurst, Geometrical and Physical Optics, 1967, Longmans, Norwich

انظر أيضا[عدل]