معادلة موجية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

المعادلة الموجية في الفيزياء (بالإنجليزية: wave equation ) هي معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية تصف بشكل عام حركة الأمواج سواء كانت امواجا صوتية أو ضوئية أو مائية . تدرس الفيزياء انتشار تلك الموجات . ينشأ الصوت من موجات صوتية ، وينشأ الضوء من موجات كهرومغناطيسية وتدرس موجات الموائع في ديناميكا الموائع.

وتاريخيا فكان الصوت هو أول ما درسه العلماء في اهتزاز الأوتار في مختلف الآلات الموسيقية . واهتم بتلك الدراسا العلماء "جين دي لامبرت" و "ليونهارد أويلار " و "دانيل بيرنولي" و جوزيف لاغرانج .[1][2][3][4]

حركة نبضة عبر وتر مربوط من طرفيه كنموذج لمعادلة موجية .
موجة كروية تنتشر من نقطة. تنتشر الموجة هنا في بعدين .

المعادلة الموجية[عدل]

تكتب المعادلة الموجية على الصورة:

  \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \right)  = 0


لدالة حقيقية أو دالة مركبة u(t,x_1\dots x_n)\,. تعتمد على المكان والزمن ، مثل تلك الدالة (النبضة) قد يكون مثلا التغير في مطال المجال الكهربائي أو مطال المجال المغناطيسي لموجة ضوئية.

تسمى هذه المعادلة "معادلة دي لامبرت" . وإذا استخدمنا t'=c\,t\,, للزمن في المعادلة الموجية الضوئية (حيث c سرعة الضوء في الفراغ ) ، فإن c^2 سوف تختفي من المعادلة ، حيث أنها تعتبر إذن مساوية للواحد ( c=1\,. ).

وحل تلك المعادلة ينتج موجة . ونظرا لكون معاملات الدالة الموجية لا تعتمد على المكان ولا تعتمد على الزمن فإن انتشار الموجات أيضا لا يتغير من مكان إلى مكان أو مع الزمن . الموجات المتأخرة أو الموجات المنزاحة هي أيضا موجات ولكنها تكون منزاحة الطور .

كما توجد "معادلة موجية غير متجانسة " وهي تتكون من معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة :

 \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}- \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \right) = v(t,x_1\dots  x_n)\,.

حل المعادلة الموجية المتجانسة في بعد واحد[عدل]

يمكن صياغة المعادلة الموجية المتجانسة في بعد واحد كالآتي:

\frac 1{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =0

هذه الموجة تنتشر في بعد واحد وهو المحور السيني x ، والحل العام لهذه المعادلة هو:

u\left(t, x\right) = f(x + ct) + g(x - ct)

وهي تتكون من دالتين f(x)\, و g(x)\, قابلتين للتفاضل مرتين . وفيها يشكل الجمع الأول موجة منتشرة بالسرعة c إلى اليسار ويشكل الجمع الثاني موجة منتشرة بنقس السرعة إلى اليمين . ويمكن كتابة تلك الدالتين f و g كدالات جيبية خطية :

 \cos(k x - \omega t + \varphi)

أو كدالات أسية مركبة :

\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x - \omega t)}\,
u(t,x)=\text{Re}\int\mathrm d k\,a(k)\,
\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k\, x -\omega\,t)}

ويعتمد التردد :

\omega = |k|\,c

على القيمة المطلقة للعدد الموجي |k|\, .

يحتوي المطال المركب a(k) على طور الموجة \varphi{(k)} .

الحل بوضع قيم مبدئية[عدل]

نفترض الحدود المبدئية للحل العام للدالة الموجية u\left(t,x\right) = f(x + ct) + g(x - ct) باختيار قيم الدالة عند الزمن = 0 :

u\left(0,x\right)=\phi (x)

والقيمة المبدئية للمشتقة بالنسبة للزمن :

\tfrac{\partial u}{\partial t} \left(0,x\right)=u_t(0,x)=\psi (x)

ينتج عن تلك الحدود المبدئية الآتي:

\phi(x)=u\left(0,x\right)=f(x)+g(x)
\psi(x)=u_t\left(0,x\right)=c\left(f'(x)-g'(x)\right)

وبإجراء التكامل على المعادلة الثانية:

f(x)-g(x)=\frac{1}{c}\int_{x_0}^x \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi,

وبحل المعادلة نحصل على :

f(x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x)+\frac{1}{c}\int_{x_0}^x \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)
g(x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x)+\frac{1}{c}\int_x^{x_0} \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)

ويصبح حل المعادلة الموجية عند الحدود المبديئة المختارة هو :

u(t,x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x+ct)+\phi(x-ct)+\frac{1}{c}\int_{x-ct}^{x+ct} \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)

المعادلة الموجية في ثلاثة أبعاد[عدل]

يمكن حل المعادلة الموجية في ثلاثة ابعاد (للمكان) باعتبارها مجموعة خطية لموجات مستوية:

\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf k \mathbf x -\omega t)}\ \text{with}\ 
\omega = \left|\mathbf k\right| c

تنتشر تلك الموجة المستوية بالسرعة c في الاتجاه \mathbf k.

ويكون حلها العام على الصورة  :

u(t,\mathbf x)=\text{Re}\int\mathrm d^n k\,a(\mathbf{k})\,
\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf k\, \mathbf x -|\mathbf{k}|\,c\, t)}

وهي تحتوي هنا على الشق الحقيقي Re ، ولكن هذا الحل العام لم يأخذ القيم المبدئية في الحسبان التي تؤثر على النتيجة النهائية .

يمكن حل المعادلة الموجية في ثلاثة ابعاد عن طريق افتراض متوسط للقيم المبدئية. فبافتراض أن الدالة u(t,\mathbf x) و مشتقتها بالنسبة للزمن كانتا \phi و \psi عند t=0 ، نحصل على:

u(0,\mathbf x)=\phi(\mathbf x)\,,\ 
\frac \partial {\partial t} u(0,\mathbf x)=\psi(\mathbf x)\,,

ويكون حل العادلة الموجية هو المجموعة الخطية متوسطات (بافتراض أن c=1 للتبسيط):

u(t,\mathbf x)=t\,M_{t,\mathbf x}[\psi] +
\frac \partial {\partial t}(t\,M_{t,\mathbf x}[\phi])

وفيها تعني :


M_{t,\mathbf x}[\chi]=\frac{1}{4\,\pi}
\int_{-1}^{1}\!\!\mathrm d \cos\theta \int_0^{2\pi}\!\!\mathrm d \varphi\, 
\chi(\mathbf x + t\mathbf n(\theta, \varphi))\quad \text{with}\quad 
\mathbf n(\theta, \varphi)=
\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\varphi\\\sin\theta\sin\varphi\\\cos\theta
\end{pmatrix}

القيمة المتوسطة للدالة \chi\,, وقد حـُسب المتوسط لسطح كرة حول النقطة \mathbf x بنصف القطر |t|\!\, . ويصبح :

M_{0,\mathbf x}[\chi]=\chi(\mathbf x)\!\,.

وكما يتضح أن حل العادلة يعتمد على القيم المبدئية المختارة / وهو يعتمد عند الزمن t عند المكان \mathbf x على القيمة المبيدئية فقط للمكان \mathbf y والتي نصل بها إلى \mathbf x خلال الفترة الزمنية |t| بسرعة الضوء c=1 .

موجة كرية ذات تردد معين[عدل]

يهتز مصدر نقطي بتردد معين f و طور موجة = 0 عند الزمن t = 0 حيث المسافة بين قمتين 2a (طول موجة). وتنتشر من تلك النقطة موجة كروية . سيتغير طور الوجة المنتشرة بالقيمة kr حيث r هي المسافة المقطوعة بعيدا عن المصدر . ويقل مطال الموجة طبقا لـ 1/r حيث أن الطاقة ستنخفض طبقا لـعلاقة r−2.

وبذلك يبلغ مطال الموجة الكروية [5] عند المسافة r :

u(t,r)= Re \left[ \frac{a}{r} e^{i \left( \omega t - kr \right)} \right]

Re هو الشق الحقيقي من حل معادلة الموجة الكرية مع إهمال الشق التخيلي .

المراجع[عدل]

  1. ^ Cannon، John T.؛ Dostrovsky، Sigalia (1981). The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 6. New York: Springer-Verlag. صفحات ix + 184 pp. ISBN 0-3879-0626-6.  GRAY، JW (July 1983). "BOOK REVIEWS". BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 9 (1).  (retrieved 13 Nov 2012).
  2. ^ Gerard F Wheeler. The Vibrating String Controversy, (retrieved 13 Nov 2012). Am. J. Phys., 1987, v55, n1, p33-37.
  3. ^ For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.
  4. ^ For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)
  5. ^ RS Longhurst, Geometrical and Physical Optics, 1967, Longmans, Norwich

انظر أيضا[عدل]

Science-symbol-2.png هذه بذرة مقالة عن موضوع علمي تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.