بنية جبرية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الجبر التجريدي ، البنية الجبرية (بالإنجليزية: algebraic structure) تتألف من مجموعة مزودة بمجموعة من العمليات أو العلاقات الرياضية المعرفة عليها بحيث تحقق بدهيات axiom معينة .

مثلا الزمرة (G,*) يشار لها عادة بالزمرة G . في حال كانت المجموعة مزودة بعلاقات رياضية فقط دون أي عمليات نقول عنها انها بنية علاقاتية relational structure.

قانون تركيب داخلي[عدل]

تعريف[عدل]

يرمز له عادة ب أو . نسمي قانون او عملية تركيب داخلي كل تطبيق يربط عنصرين من نفس المجموعة بصورة ضمن تلك المجموعة بصفة عامة : ليكن و من مجموعة . قانون تركيب داخلي اذا كان :
[1] حيث تسمى مجموعة مزودة بقانون تركيب داخلي و نكتب

خاصيات[عدل]

التجميعية[عدل]

القانون تجميعي تكافئ:

مثال: [2]

التبادلية[عدل]

القانون تبادلي تكافئ:

مثال: [2]

العنصر المحايد[عدل]

نقول ان عنصر محايد في بالنسبة ل إذا كان:

مثال : بالنسبة ل في المجموعة .
[2]

المماثل[عدل]

مماثل في

يقبل عنصرا محايدا في
و [2]

أمثلة لبعض البنيات الجبرية البسيطة[عدل]

الزمرة[عدل]

تكون زمرة اذا تحققت الخاصيات الثلاث:

  1. تجميعي و يقبل عنصرا محايدا.
  2. كل عنصر من يقبل مماثلا بالنسبة للقانون في .

اذا كان تبادليا فاننا نقول زمرة تبادلية.

الأشكال التي يأخذهاٍٍمكعب روبيك تكون زمرة.

الحلقة[عدل]

التوزيعية[عدل]

التوزيعية هي قابلية نشر و تعميل القوانين مثال : الضرب توزيعي على الجداء لأن : و العكس غير صحيح فالجمع ليس توزيعيا على الجداء بصفة عامة نقول إن القانون توزيعي على القانون إذا و فقط إذا تحقق التالي:
[3]

من البنيات الجبرية الأكثر شيوعا نجد الحلقات , و هي عبارة عن مجموعة كائنات رياضية مزودة بقانوني تركيب داخليين من أمثلة الحلقات الأكثر شهرة نجد مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية.
الحلقة تحقق ما تحققه الزمرة التبادلية بالنسبة لقانونها الأول, تتلخص شروط كون حلقة كما يلي:

  1. زمرة تبادلية.
  2. القانون توزيعي على القانون في .
  3. القانون تجميعي.

اذا كان تبادليا نقول إن الحلقة تبادلية أما إذا كان له عنصر محايد فتسمى حلقة واحدية.
في حلقة نسمي عادة القانون الأول و نسمي القانون الثاني نسمي كذلك العنصر المحايد بالنسبة للقانون الأول صفر الحلقة و يمكن الرمز له ب و العنصر المحايد بالنسبة للقانون الثاني واحد أو وحدة الحلقة و نرمز له ب و من أجل تسهيل الحساب نرمز للقانون الأول ب و الثاني ب تبقى كل هذه التغييرات مجرد ترميزات و لا ينبغي لنا الخلط.[4]

الجسم[عدل]

الجسم عبارة عن حلقة واحدية تتحقق فيها القسمةأي أن كل عنصر ما عدا صفر الحلقة له مماثل (يسمى أيضا متمم أو مقلوب أو مقابل ) من أمثلة الأجسام مجموعة الأعداد الحقيقية المزودة ب و
عموما فإن كل جسم يحقق ما يلي:

  1. حلقة واحدية .
  2. كل عنصر من المجموعة يقبل مماثلا.

مراجع[عدل]

  1. ^ عبد السلام حقاني و محمد غزايلي ,سلسلة ديما ديما , الجبر و الهندسة و الاحتمالات,ص:314
  2. ^ أ ب ت ث عبد السلام حقاني و محمد غزايلي ,سلسلة ديما ديما , الجبر و الهندسة و الاحتمالات,ص:314
  3. ^ الكتاب المدرسي للسنة الثانية باكالوريا علوم رياضية طبعة 2007,الجبر و الاحتمالات , الزمرة الحلقة , الجسم , المغرب
  4. ^ الكتاب المدرسي للسنة الثانية باكالوريا علوم رياضية طبعة 2007,الجبر و الاحتمالات , الزمرة ,الحلقة , الجسم , المغرب

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg
هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.