متراجحة ينسن

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مخطط يبيّن متراجحة ينسن في الرياضيات ، والمنسوبة إلى عالم الرياضيات الدانيماركي يوهان ينسن.

متراجحة ينسن في الرياضيات، والمنسوبة إلى عالم الرياضيات الدانيماركي يوهان ينسن، تربط ما بين قيمة تراكب دالة محدّبة على تكامل وبين قيمة تراكب التكامل على نفس الدالة المحدّبة. وقد قام ينسن ببرهان هذه المتراجحة في عام 1906.[1] كون المتراجحة قانونًا عامًا يؤدي إلى أن يصلح استخدامها في عدة سياقات وعدة أشكال. وبصيغتها الأكثر بساطة، تنص المتراجحة على أنّ "التحويل المحدّب لمتوسّط حسابي لمتغير أو قيم معينة أصغر من أو مساوٍ للمتوسّط الحسابي لذات التحويل المحدب لنفس المتغير أو القيم".

نصوص[عدل]

الصيغة المحدودة[عدل]

لأي دالة محدبة \varphi، وأعداد x_1, x_2, \dots, x_n في نطاق الدالة، وعوامل ترجيح موجبة ملائمة a_1, a_2, \dots, a_n، بالإمكان نص متراجحة ينسن كالتالي:

\varphi \left(\frac{\sum a_i x_i}{\sum a_i}\right) \le \frac{\sum a_i \varphi \left(x_i\right)}{\sum a_i}

حيث أن المتراجحة تكون معكوسة إذا كانت الدالة \varphi مقعرة. وبشكل خاص، فإذا كانت جميع عوامل الترجيح متساوية، نحصل على المتراجحة الآتية:

\varphi \left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \le \frac{\sum  \varphi \left(x_i\right)}{n}.

على سبيل المثال، إذا أخذنا الدالة \varphi \left(x\right) = \operatorname{ln}\left(x\right)، وهي دالة مقعرة (إذ \varphi^{\prime\prime} \left(x\right) = -\tfrac{1}{x^2} <0) وتصاعدية، فبما أنّ المتراجحة الآتية صحيحة لكونها المتراجحة الشهيرة بين المتوسط الحسابي والمتوسط الهندسي لـn أعداد:

\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}

وبما أنّ \varphi تصاعدية:

\operatorname{ln} \left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right) \ge \operatorname{ln} \left(\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}\right)
\Leftrightarrow \operatorname{ln} \left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \ge \frac{1}{n} \operatorname{ln} \left(x_1 x_2 \cdots x_n\right)
\Leftrightarrow \operatorname{ln} \left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \ge \frac{\sum \operatorname{ln} \left(x_i\right)}{n}

أي أنّ متباينة ينسن تتحقّق لهذه الحالة. يشار إلى أنّ المتغيرات x_i قد تكون دالة من متغير آخر t، بحيث x_i = g\left(t_i\right). وبشكل عام أكثر، فبالإمكان النظر إلى الحالة المستمرّة، حيث تستبدل الجموع بتكاملات، وتستبدل عوامل الترجيح بدالة ترجيح غير سالبة، كدالة توزيع احتمالي، مثلاً.

الصيغة الاحتمالية[عدل]

بالإمكان صياغ قانون مكافئ في سياق نظرية الاحتمالات. فإذا كان \scriptstyle(\Omega, \mathfrak{F},\mathbb{P}) فضاء احتمالي، وكان X متغيرًا عشوائيًا قابل للتكامل وذو قيم حقيقية وكانت الدالة \varphi دالة محدبة، فإنّ:

\varphi\left(\mathbb{E}\{X\}\right) \leq \mathbb{E}\{\varphi(X)\}.

بحيث أنّ \mathbb{E} \left[X\right] هي القيمة المتوقعة للمتغير X.

أنظر أيضًا[عدل]

ملاحظات[عدل]

  1. ^ Jensen، J. L. W. V. (1906). "Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes". Acta Mathematica 30 (1): 175–193. doi:10.1007/BF02418571. 

وصلات خارجية[عدل]