حجة كانتور القطرية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
توضيح لحجة كانتور القُطْرية (للأساس الثنائي) بوجود مجموعات غير عدودة.[1] حيث يستحيل وجود تسلسل الأرقام بالأسفل في أي ترتيب للأرقام أعلاه.
قد يكون للمجموعة الغير منتهية نفس درجة أصالة مجموعة جزئية فعلية منها، كما نرى هنا في تقابل قيم الدالة f(x)=2x من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الزوجية. ومع ذلك، توجد مجموعات لا حصر لها من درجات الأصالة المختلفة، كما وَضَحَت حجة كانتور القُطْرية.

حجة كانتور القُطْرية هي برهان رياضي في نظرية المجموعات نشره جورج كانتور عام 1891 لبرهنة وجود مجموعات غير منتهية لا يمكن مقابلة عناصرها مع عناصر مجموعة الأعداد الطبيعية الغير منتهية.[2][3]:20–[4] تُعرف هذه المجموعات الآن بالمجموعات غير العدودة، وتساعدنا نظرية كانتور للأعداد الأصلية في التعامل مع حجم هذه المجموعات الغير منتهية.

لم تكن الحجة القُطرية هي أول برهان لكانتور على استحالة حصر الأعداد الحقيقية، بل سبقتها مقالة نشرها عام 1874.[5][6] ولكنه في هذا البرهان أسس لتقنية عامة أُستخدِمَت فيما بعد في مجموعة كبيرة من البراهين،[7] بما في ذلك أول مبرهنات عدم الاكتمال لجودل[3] وحل تورينج لمسألة القرار. أحيانا تكون الحجج القطرية مصدرًا للتناقضات مثل مفارقة راسل[8][9] ومفارقة ريتشارد.[3] :27

مجموعة غير عدودة[عدل]

اعتبر كانتور المجموعة T التي ترمز لجميع المتتاليات اللانهائية للأرقام الثنائية (أي أن كل رقم إما صفر أو واحد). ثم يبدأ بـ برهان إنشائي [الإنجليزية] على الليمة التالية:

إذا كانت المتواليات s1 ، s2، ... ،sn، ... هي أي تعداد لعناصر المجموعة T، فيمكن إنشاء متوالية s في T لا تقابل أي مجموعة sn في هذا التعداد.

يبدأ البرهان بتعداد عناصر T، كمثال

s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)
s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)
s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...)
s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...)
s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)
...

بعد ذلك، ننشئ متوالية s بجعل أول رقم مكمل لأول رقم في s1 (بتحويل كل الأصفار لآحاد وبالعكس)، وثاني رقم مكمل لثاني رقم في s2 ، وثالث رقم مكمل لثالث رقم في s3، وبالمثل لأي n، الرقم n مكمل للرقم n في sn. وبتطبيق هذا على المثال أعلاه، نحصل على

s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)
s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)
s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...)
s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...)
s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)
...
s = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, ...)

عن طريق هذا الإنشاء، نجد أن s تنتمي لـ T وتختلف عن كل المتواليات sn، لأن الأرقام في الموضع n في كل مجموعة مختلف (كما مُوضح بالأعلى). لذا، يستحيل وجود s في التعداد.

وبناءً على هذه الليمة، يستخدم كانتور بعد ذلك برهان بالتناقض ليصل إلى أن:

المجموعة T غير عدودة.

بدأ الإثبات بفرض قابلية T للعد. يمكن تعداد عناصرها هكذا s1 ، s2 ، ...، sn ،. . . .

تطبيق الليمة السابقة على هذا التعداد أنتج متوالية s تنتمي لـ T، ولكنها غير موجودة في التعداد السابق. ومع ذلك، لم قمنا بتعداد T، سنحصل على كل عضو في T، بما فيهم المتوالية الجديدة s. هذا التناقض يستلزم خطأ الافتراض السابق. لذا فإن T غير عدودة.[10]

مراجع[عدل]

  1. ^ معجم مصطلحات الرياضيات، إعداد لجنة مصطلحات الرياضيات في المجمع، أ. د. موفق دعبول، أ. د. خضر الأحمد، أ. د. بشير قابيل، أ. مروان البواب، مجمع اللغة العربية، الجمهورية العربية السورية، 2018، ص 738
  2. ^ Georg Cantor (1891). "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre". جمعية علماء الرياضيات الألمانية. 1: 75–78. English translation: Ewald، المحرر (1996). From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volume 2. Oxford University Press. ص. 920–922. ISBN 0-19-850536-1. {{استشهاد بكتاب}}: الوسيط |archive-url= بحاجة لـ |url= (مساعدة)
  3. أ ب ت Keith Simmons (30 يوليو 1993). Universality and the Liar: An Essay on Truth and the Diagonal Argument. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43069-2. مؤرشف من الأصل في 26 أبريل 2022.
  4. ^ Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis (ط. 3rd). New York: McGraw-Hill. ص. 30. ISBN 0070856133.
  5. ^ "Georg Cantor and Transcendental Numbers" (PDF)، الرياضيات الأمريكية الشهرية، 101 (9): 819–832، 1994، doi:10.2307/2975129، JSTOR 2975129، مؤرشف من الأصل (PDF) في 16 أبريل 2022
  6. ^ Bloch (2011). The Real Numbers and Real Analysis. New York: Springer. ص. 429. ISBN 978-0-387-72176-7.
  7. ^ Sheppard (2014). The Logic of Infinity (ط. illustrated). Cambridge University Press. ص. 73. ISBN 978-1-107-05831-6. Extract of page 73
  8. ^ "Russell's paradox". Stanford encyclopedia of philosophy. مؤرشف من الأصل في 30 أغسطس 2022.
  9. ^ Bertrand Russell (1931). Principles of mathematics. Norton. ص. 363–366.
  10. ^ Georg Cantor (1891). "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre". جمعية علماء الرياضيات الألمانية. 1: 75–78.Georg Cantor (1891). "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1: 75–78. English translation: Ewald، المحرر (1996). From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volume 2. Oxford University Press. ص. 920–922. ISBN 0-19-850536-1.Ewald, William B., ed. (1996). From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volume 2. Oxford University Press. pp. 920–922. ISBN 0-19-850536-1.

روابط خارجية[عدل]