طريقة العناصر المنتهية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
صورة ثنائية البعد لجل مسألة مغناطيسية ساكنة، حيث توضح الخطوط اتجاه التدفق المغناطيسي، واللون يعبر عن شدتها.
صورة لشبكة مثلثية للصورة الظاهرة أعلاه. لاحظ كثافة الشبكة المثلثية في المناطق المهمة للحصول على نتائج أدق.

طريقة العناصر المنتهية (Finite element method) أو يطلق عليها أيضاً تحليل العناصر المنتهية هي طريقة تحليل عددي لإيجاد الحلول التقريبية للمعادلات التفاضلية الجزئية بالإضافة إلى الحلول التكاملية. يعتمد الحل إما على إلغاء المعادلات التفاضلية الجزئية نهائياً (في الحالات الساكنة) أو تقريب المعادلات التفاضلية الجزئية إلى معادلات تفاضلية نظامية والتي يكون من الممكن حلها باستخدام عدة طرق كطريقة أويلر أو رونغي-كوتا.

تطبيقات[عدل]

دراسة حالة سيارة أثناء تشوه هيكلها في دراسة للتصادم.
  • هناك العديد من التطبيقات لطريقة العناصر المنتهية وأغلبها تتعلق بالهندسة الميكانيكية بشكل أو بآخر، حيث تستخدم هذه الطريقة ضمن عملية تصميم وتطوير المنتجات المختلفة. بعض برامج حساب العناصر المنتهية الحديثة تقوم بدراسة الحرارة، المغناطيسية الكهربائية، تدفق السوائل...الخ.
  • في مجال هندسة الجيوتكنيك تستخدم طريقة العناصر المنتهية في تحليل الأنفاق والمنشآت تحت الأرضية (بالإنكليزية: underground structures)، وكذلك في تحليل تفاعل المنشأ مع التربة المحيطة به في أثناء فترة التحميل وتحليل أساسات الآلات الثقيلة والمعقدة وغيرها.
  • في مجال ميكانيك السوائل والمنشآت المائية يمكن باستخدام طريقة العناصر المنتهية تحليل جريان السوائل والمنشآت المعرضة إلى ضغوط مائية كبيرة كالغواصات وغيرها.

شرح طريقة العناصر المنتهية[عدل]

سوف نستخدم مثالين بسيطين لشرح طريقة العناصر المنتهية، والتي من خلالها من الممكن استخلاص الطريقة العامة. في النقاش التالي، يجب على القارئ أن يكون متفهما لمبادئ علم الحسبان والجبر الخطي.

P1 هي مسألة أحادية البعد، معطاة على الشكل التالي:

\mbox{P1 }:\begin{cases}
u''=f \mbox{ in } (0,1), \\
u(0)=u(1)=0,
\end{cases}

حيث f معلوم وu هو تابع مجهول للمتحول x، وu'' هو المشتق الثاني للتابع u بالنسبة للمتحول x.

المسألة ثنائية البعد البسيطة هي مسألة ديركلت وتعطى على الشكل التالي:

\mbox{P2 }:\begin{cases}
u_{xx}+u_{yy}=f & \mbox{ in } \Omega, \\
u=0 & \mbox{ on } \partial \Omega,
\end{cases}

حيث \Omega هي منطقة مفتوحة متصلة في المستوي الثنائي البعد (x,y) الذي تكون حدوده \partial \Omega هي عبارة عن مضلع ذو شكل جميل. وu_{xx} وu_{yy} هي المشتقات الثانية للمتحولين x وy على الترتيب.

من الممكن حل المسألة أحادية البعد بحساب المشتق العكسي. لكن هذه الطريقة في حل مسألة القيمة الحدية (boundary value problem) تصلح لحل المسائل أحادية البعد ولا يمكن تعميمها إلى مسائل ذات أبعاد أعلى أو مثال لها الشكل u+u''=f ولهذا السبب كان من الضروري تطوير طريقة العناصر المنتهية، بدءاً من البعد الأحادي وتعميمها على الأبعاد الأعلى.

الشرح هنا سوف يتم على مرحلتين والتي تعكس المرحلتين الأساسيتين الواجب تطبيقهما لحل مسألة القيمة الحدية باستخدام طريقة العناصر المنتهية:

  • الخطوة الأولى: تبسيط مسألة القيمة الحدية إلى شكل بسيط تنتفي معه الحاجة إلى استخدام الحاسب للحل، بل يكون من الممكن حلها يدوياً باستخدام الورقة والقلم.
  • الخطوة الثانية: هي التقطيع، حيث يتم تجزئة الشكل إلى عناصر منتهية وحل كل عنصر على حدة.

بعد هذه الخطوة سيكون لدينا صيغة متكاملة لحل مسائل ذات درجات عالية لكن يجب أن تكون خطية والتي حلولها ستكون حلاً تقريبياً لمسألة القيمة الحدية. ومن ثم يتم برمجة هذه الطريقة على الحاسوب.

الصيغة المتحولية[عدل]

الخطوة الأولى هو تحويل P1 و P2 إلى مكافئاتها المتحولية. إذا كان u هو حل لـ P1، عندها من أجل أي دالة متصلة v يحقق شروط الانتقال الحدي، مثلاً: v=0 عند x=0 وx=1، يكون لدينا

(1) \int_0^1 f(x)v(x) \, dx = \int_0^1 u''(x)v(x) \, dx.

وبشكل معاكس، من أجل قيمة معطاة لـ u فإن (1) تكون محققة من أجل أي دالة متصلة v(x) وعندها من الممكن أن يبرهن أن u ستكون حلاً لـ P1 (برهان هذا ليس بالأمر السهل وهو يعتمد على فضاء سوبوليف).

وباستخدام التكامل بالأجزاء على يمين المعادلة (1) سنحصل على مايلي:

(2)
\begin{align}
 \int_0^1 f(x)v(x) \, dx & = \int_0^1 u''(x)v(x) \, dx \\
 & = u'(x)v(x)|_0^1-\int_0^1 u'(x)v'(x) \, dx \\
 & = -\int_0^1 u'(x)v'(x) \, dx = -\phi (u,v).
\end{align}

حيث تم افتراض أن v(0)=v(1)=0.

برهان يظهر وجود حل وحيد[عدل]

من الممكن اعتبار أن H_0^1(0,1) هو عبارة عن تابع مستمر مطلق للثنائية (0,1) بحيث أن 0 عند x=0 وx=1 (انظر فضاء سوبوليف). مثل هذه التوابع تكون ضعيفة (قابلة للاشتقاق مرة واحدة) وتكشف عن الخريطة الخطية الثنائية المتناظرة \!\,\phi ومن ثم تعرف جداء داخلي الذي يحول H_0^1(0,1) إلى فضاء هلبرت. ومن ناحية أخرى، فإن الطرف الأيسر \int_0^1 f(x)v(x)dx هو أيضاً جداء داخلي، ولكن هذه المرة على الفضاء Lp \mathcal {}L^2(0,1). وتطبيق لمبرهنة تمثيل رايسز على فضاءات هلبرت يظهر أنه يوجد حل وحيد u يحل (2) وبالتالي يحل المسألة P1.

الصيغة المتحولية لـ P2[عدل]

إذا تم التكامل بالأجزاء باستخدام مبرهنة غرين حيث نجد أنه إذا كان u هو حل لـ P2، فإنه من أجل أي v يكون

\int_{\Omega} fv\,ds = -\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, ds = -\phi(u,v),

حيث \nabla تحقق التدرج وترمز إلى الجداء الداخلي في المستوي ثنائي البعد.

التقطيع[عدل]

التابع H10 مع القيم الصفرية عند نقاط النهاية (زرقاء)، والتقريب الخطي الجزئي للمنحني (حمراء).

الفكرة الأساسية في طريقة العناصر المنتهية هو استبدال المسألة الخطية ذات الأبعاد اللانهائية: أوجد قيمة u \in  H_0^1 بحيث أن

\forall v \in H_0^1, \; -\phi(u,v)=\int fv

بصيغة بعدية منتهية:

(3) أوجد u \in V such that
\forall v \in V, \; -\phi(u,v)=\int fv

حيث V هو فضاء جزئي خطي ذو عدد أبعاد منته من H_0^1. هناك العديد من الخيارات لـ V. لكن في طريقة العناصر المنتهية نعتبر V على أنها فضاء للأجزاء الخطية للتابع.

في المسألة P1، نأخذ المقطع (0,1) باختيار n x قيم من 0=x_0<x_1<...<x_n<x_{n+1}=1 ونعرف V على الشكل:

\begin{matrix} V=\{v:[0,1] \rightarrow \Bbb R\;: v\mbox{ is continuous, }v|_{[x_k,x_{k+1}]} \mbox{ is linear for }\\
k=0,...,n \mbox{, and } v(0)=v(1)=0 \} \end{matrix}

حيث نعرف x_0=0 و x_{n+1}=1. لاحظ أن التوابع في V هي توابع غير قابلة للاشتقاق بالاعتماد على التعريف المبدئي للحسبان. إذا كان v \in V فإن المشتق يكون عادة غير معرف عند أي x=x_k, k=1,...,n. لكن يوجد مشتق عند كل قيمة للمتحول x ومن الممكن استخدام هذا المشتق لغرض التكامل بالأجزاء.

تابع خطي مقطع في المستوي ثنائي الأبعاد.

من أجل المسألة P2 نحتاج أن تكون V عبارة عن مجموعة من التوابع من \Omega. في الشكل الموضح على اليسار، يظهر تثليث مضلعي لمنطقة مضلعية من 15 ضلع \Omega في المستوي (في الأسفل)، والتابع الخطى المجزأ (ملوناً، في الأعلى) لهذا المضلع الذي يكون خطياً على كل مثلث من التثليث. حيث أن الفضاء V سيحتوي على توابع تكون خطية على كل مثلث من التثليث المختار.

تظهر V مكتوبة على الشكل V_h في بعض المراجع، وذلك بسبب أنه يوجد هدف في الحصول على حلول أدق وأدق للمسألة المتقطعة (3) الذي سيكون إلى حد ما سيؤدي إلى حد المسألة الأصلية في إيجاد القيم الحدية للمسألة P2. يتم عنونة التثليث باستخدام معامل ذو قيمة حقيقية h>0 والذي يكون ذو قيمة صغيرة. سوف يتم ربط هذا المعامل بحجم أكبر مثلث وسطي الحجم في التثليث. وعندما نزيد تجزئة التثليث فإن فضاء التقطيع الخطي V يجب أن يتغير مع h كما يوضح الترميز V_h.

أنظر أيضا ً[عدل]

برمجيات عددية (Numerical software)

مصادر و مراجع[عدل]

  • Alexandre Ern, Jean-Luc Guermond: Theory and practice of finite elements. Springer, New York 2004, ISBN 0-387-20574-8