معادلة تفاضلية عادية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

بشكل عام المعادلات التفاضلية هي المعادلات التي يكون فيها المتغير هو دالة، حيث ان المعادلة تظهر العلاقة بين الدالة ومشتقاتها. حل المعادلات التفاضلية يعني إيجاد جميع الدوال y التي تحقق هذه المعادلة, و مجموعة هذه الدوال تسمى الحل العام للمعادلة (عائلة حلول) ، كل عنصر من هذه المجموعة يسمى حلا خاصا للمعادلة.

اما المعادلة التفاضلية العاديّة تكون فيها الدالة بمتغير واحد، بعكس المعادلة التفاضلية الجزئية التي يكون فيها المتغير دالة بعدّة متغيرات، والمشتقات مشتقات جزئية.

المعادلات التفاضلية مهمة جداً في تفسير الظواهر العلمية الفيزيائية والكيميائية. السبب في ذلك اننا نستطيع كتابة معادلات بمتغيرات كثيرة كدالة للمشتقات مثل سرعة وموقع الاجسام المختلفة، لذلك يلزم معرفة حل هذه المعدلات وكيفيّة التعامل معها. ويجدر التنويه انه في حالات كثيره لا يمكن حل المعادلة بصورة جبريّة تامة، لذلك من المهم التعرف على نظريات وخواص هذه المعادلات التي بطبعها تسهّل تأطير الحل.

ممكن تصنيف المعادلات إلى فئات مختلفة بحسب رتبة المعادلة. رتبة المعادلة هي أعلى مشتقة تظهر بالمعادلة. أما درجة المعادلة فهي الأس المرفوع اليها أعلى مشتقة.

مثال: \ (y'')^9-5y=x من مرتبة 2 ودرجة 9.

معادلات من رتبة اولى[عدل]

بشكل عام المعادلة من الرتبة الاولى يمكن عرضها بصورة \ F\left(y,y',x\right)=0. نحن نبحث عن دالة \ y(x) اذا عوضنها في \ F تكون النتيجة 0.

مثال, الدالة \ F(y,y',x)=y'-2y المعادلة تكون \ y'-2y=0.الحل العام هو: \ Ae^{2x}. وبالفعل يتحقق \ (Ae^{2x})'=2Ae^{2x}, لذلك اذا عوّضنا تكون النتيجة \ 2Ae^{2x}-2Ae^{2x}=0, كالمطلوب.

كما ذكرنا، في معادلة تفاضلية نحصل على عدّة حلول متعددة، الحل المطلوب ممكن حصره بواسطة : شرط حدي - شرط ابتدائي (أنظر شروط الحدية).

بشكل خاص؛ لمعادلات تفاضلية من الرتبة الاولى هناك مبرهنة بيكار ليندلوف ذات خواص مهمة لايجاد الحل.

معادلة خطيّة متجانسة وغير متجانسة من الرتبة الاولى[عدل]

معادلة خطية من الرتبة الاولى تظهر بالصورة \ y'+p(x)y=q(x). اذا كان \ q(x)\equiv 0 تسمى المعادلة بالمعادلة المتجانسة؛ \ y'+p(x)y=0.

\ y'+p(x)y=0

\ y'= -p(x)y

\ (y'/y)=-p(x)

\ \int (dy/y) = \int (-p(x))

\ y = Ce^{\int -p(x) dx}

\ C هو معامل تكاملي، ونضيف حل اضافي يسمى الحل المنفرد \ y(x)\equiv 0 وهو يتحقق في شرط حدي \ C= 0.اذا هذا الحل يمكن استنتاجه من الحل العام لذلك الحال العام كامل.


المعادلة الغير متجانسة يمكن كتابة حلها كحاصل جمع بين حل عام لمعادلة تفاضلية متجانسة وحل خاص لمعادلة تفاضلية غير متجانسة.

\ y=y_H+y_P

نعرض الان حل عام للمعادلة التفاضلية الغير متجانسة \ y'+p(x)y=q(x)

نستعين في دالة \  M(x):

\ y'+p(x)y=q(x)

نضرب الجهتين في الدالة المساعدة:

\ M(x) y'+  M(x) p(x)y= M(x)q(x)

نطلب:

\ M(x)'= p(x)M(x)

هي معادلة تفاضلية متجانسة، حلها:

\ M(x)=e^{\int p(x)dx}

نستعين في الدالة المساعدة لنصل إلى الحل النهائي:

\ \int (M(x)y )'= \int M(x)q(x)

\  M(x)y = \int M(x)q(x) +c

\ y =(\int M(x)q(x)+c)/M(x)

فصل المتغيرات[عدل]

هي من الصورة:

\  y' =g(x)h(y)

طريقة الحل تكون بفصل المتغيرات ثم القيام بالتكامل.

أي أن :

\ \int dy/h(y) = \int g(x)dx

وهذا بالضبط ما قمنا به في المعادلة المتجانسة من الرتبة الاولى.

ملاحظة: الفصل المتغيرات يعني ، فصل كل ما يتعلق بالمتغير المستقل \ x عن متغير المعادلة (المتغير التابع) \ y(x) .

معادلة الخط المستقيم[عدل]

\ y'= f(ax+by+c)

نرمز: \ z=ax+by+c ومنها نعود لمعادلة فصل المتغيرات.

معادلة من الصورة (y'=f(y/x[عدل]

نوصل الصورة المعطاة لمعادلة قابلة للفصل عن طريق الرمز لِ \ z=y/x .

معادلة برنولي[عدل]

معادلة برنولي من الصورة \ y'+p(x)y=q(x)y^n. واضح ان \ y=0 هو حل للمعادلة.

نفرض ان \ y\ne0، نقسم على \ y^n  :

\ y'/y^n + p(x)y/y^n =q(x) نرمز \ z=y/y^n أي \ z=y^{1-n}، فنحصل على الدالة الخطية \ z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x).

نجد \ z ومنها يمككننا ايجاد \ y - المتغير التابع المطلوب.

معادلة تامّة[عدل]

لتكن \ F(x,y) دالة قابلة للاشتقاق. بحيث ان \ x(t) و \ y(t) . حسب قاعدة السلسلة يتحقق: \ \frac {dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial x} \frac {dx}{dt} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac {dy}{dt}

وبشكل رمزي نكتب: \ dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx +\frac{\partial F}{\partial y} dy

اذا كانت \ F(x,y)=const حينها \ dF=0 .

من هذا المنطلق ننظر للمعادلة \ P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 :

1. اذا تحقق \ \frac{\partial P}{\partial y}= \frac{\partial Q} {\partial x} حينها تسمى المعادلة معادلة تامّة.


2. واذا كانت دالة \ F(x,y) تحقق: \ \frac{\partial F}{\partial x}= P(x,y) وأيضاً \ \frac{\partial F}{\partial y}= Q(x,y) . تكون المعادلة شبيهة ل \ dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx +\frac{\partial F}{\partial y} dy وحينها نقول الحل هو \ F(x,y)=c .


اذا لم تكن المعادلة تامّة، أي أن \ \frac{\partial P}{\partial y} \ne \frac{\partial Q} {\partial x} حينها نستعين بمعامل التكامل \ \mu (x,y) بحيث : \ \mu (x,y) P(x,y)dx + \mu (x,y) Q(x,y)dy =0 نطلب:

\ \frac{\partial }{\partial y} ( \mu (x,y) P(x,y))=  \frac{\partial }{\partial y} ( \mu (x,y) Q(x,y)

ملاحظة:بشكل عام نطلب ان \ \mu(x) -متعلقة فقط ب \ x او نطلب ان \ \mu(y) -متعلقة فقط ب \ y وذلك حسب المعادلة التي نريد حلها.


معاني هندسية في المعادلات التفاضلية[عدل]

حقل الاتجاه: نستطيع تمثيل ميل كل حل خاص على المحور بواسطة اسهم -لا يوجد معنى لطول السهم- ، بحيث ان اختيار شرط بدائي يعطينا حل واحد هو دالة.

    • اذا قمنا بالوصل بين الاسهم تظهر الحلول.
عائلة حلول في المعادلة المعطاه.اختيار شرط بدائي يعطينا حل واحد هو دالة


نظرية وجود وأحادية الحل لمعادلة تفاضلية رتبة اولى[عدل]

معطى: \ y(x_0)=y_0 وأيضاَ \ y'=f(x,y)

نفرض ان الدالة \ f(x,y) وكل مشتقاتها الجزئية حسب \  y متصلة في المجال الثنائي البعد \  D في محور \ (x,y) وهذا المجال يحوي نقطة الشرط الحدي (أنظر شروط الحدية ) \  (x_0,y_0) .

فنقول انه موجود منطقة مستطيلة\ [x_0-h,x_0+h] للنقطة \ x_0 على الاقل في المجال \ x_0-h \leq x\leq x_0+h  فيه حل موجود وهو \ y(x) . وهو واحد ووحيد.

معادلات تفاضلية من رتبة n[عدل]

أنظر معادلة تفاضلية خطية

نظام معادلات تفاضلية[عدل]

متسلسلة معالة تفاضلية[عدل]