انتقل إلى المحتوى

دالة بيتا

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
الخط المنسوب لدالة بيتا
الرسم البياني لدالة بيتا لقيم موجبة لكل من x و y

في الرياضيات، دالة بيتا (بالإنجليزية: Beta function)‏، والمعروفة أيضا باسم تكامل أويلر من النوع الأول، هي دالة خاصة تعطي بالعلاقة التالية:

لكل

تعاقب علي دراسة هذه الدالة كل من أويلر وليجاندر والذي أعطاها هذا الاسم هو جاك بينيه.[1][2] يعد الرمز B هوأحد الحروف الكبيرة في الكتابة اليونانية أما الحرف الصغير له فهو β.

الخصائص

[عدل]

تعتبر دالة بيتا دالة دالة متماثلة ، وهذا يعني:

يمكن تعريف دالة بيتا بدلالة دالة غاما وذلك عن طريق الصيغة التالية :

عندما يكون كل من x و y عددا صحيحا موجبا تكون صيغة دالة بيتا كالتالي :

حيث (Gamma (x تساوي (x-1)! عندما يكون x عددا صحيحا موجبا.

وتوجد العديد من الصيغ لدالة بيتا منها :


العلاقة بين دالة بيتا ودالة غاما

[عدل]

لايجاد التكامل الذي يمثل دالة بيتا، نبدأ بحاصل ضرب دالتين غاما :

بتبديل المتغيرين بوضع u=zt و (v=z(1-t يتضح ما يلي:

من أجل حساب هذا التكامل المزدوج والقيام بهذا التغيير للمتغير، انظر إلى مصفوفة جاكوبية ومحددة جاكوبية. ومن ثم،

المشتقات

[عدل]

تكون مشتقة دالة بيتا علي الصورة :

حيث هي دالة ثنائي غاما

التكاملات

[عدل]

يشمل تكامل نورلايد-ريز تكامل دالة بيتا.

التقريب

[عدل]

يمكن تقريب دالة بيتا عن طريق تقريب ستيرلينغ ويعطي الصيغة التالية :

وذلك لكل من x و y كبيرين، أما ان كان x كبير و y محدود فتكون الصيغة كالتالي:

دالة بيتا غير الكاملة

[عدل]

تعتبر دالة بيتا غير الكاملة تعميما لدالة بيتا وتعطي بالصيغة:

عندما x=1 توؤل دالة بيتا غير الكاملة الي دالة بيتا الكاملة والعلاقة بين الدالتين كالعلاقة بين دالة غاما وتعميماها دالة غاما غير الكاملة.

دالة بيتا غير الكاملة المنظمة أو المعرفة اختصارا ب دالة بيتا المنظمة تعرف عن طريق دالة بيتا غير الكاملة والكاملة كالتالي:

بحل هذا التكامل (يمكن حله بالتكامل بالتجزئة) سوف نجد:

خصائصها

[عدل]

حساب دالة بيتا

[عدل]

انظر أيضا

[عدل]

المراجع

[عدل]
  1. ^ "معلومات عن دالة بيتا على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2020-07-25.
  2. ^ "معلومات عن دالة بيتا على موقع id.ndl.go.jp". id.ndl.go.jp. مؤرشف من الأصل في 2019-09-02.

وصلات خارجية

[عدل]