كسر مستمر

$a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}$

كسر مستمر منته، حيث n عدد صحيح موجب وa₀ عدد صحيح، و a_i عدد صحيح موجب بالنسبة إلى i=1,…,n.

في الرياضيات، الكسر المستمر (بالإنجليزية: Continued fraction)‏ هو كسر يأخذ الصيغة التالية :

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}$

حيث a₀ عدد صحيح والاعداد (a_i (i ≠ 0 هي أعداد موجبة. يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل.

إذا سُمح لكل بسط جزئي ومقام جزئي أن يأخذا قيما اختيارية، والتي يمكن أن تكون دوالا رياضية، يصبح التعبير الناتج كسرا مستمرا معمما.

تحفيز

الهدف الرئيسي من تعريف الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت للأعداد الحقيقية. الكثير يعلم عن التمثيل العشري للأعداد الحقيقية والتي تعرف بالعلاقة:

$r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}10^{-i},$

حيث a₀ عدد صحيح، وكل a_i آخر هو عنصر في المجموعة {0, 1, 2,..., 9}. بهذا التمثيل، يمكن تمثيل العدد باي π على سبيل المثال، بتعاقب من الاعداد (a_i) = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...).

لهذا التمثيل بعض المشاكل. أحدها أن العديد من الأعداد النسبية تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. على سبيل المثال العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3,....). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.

لنتمعن العدد 415/93، يمكن وصفه على أنه تقريبا 4.4624، وبتقريب أكثر 4. في الحقيقة أكبر بقليل من 4، وبتقريب أكثر 4 + 1/2. ولكن 2 في المقام ليس صحيحا;المقام الأصح هو أكثر بقليل من 2، تقريبا 2 + 1/6، أي 415/93 4 + 1/(2 + 1/6). لكن 6 في المقام ليس دقيقا أيضا; أي أن القيمة الدقيقة للمقام هي 6+1/7. إذن 415/93 هو بالحقيقة 4+1/(2+1/(6+1/7)) بالضبط. بإهمال الاجزاء المتبقية من التعبير 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) يعطى الرمز المختصر [4; 2، 6، 7].

لهذا الترميز بعض الخصائص المميزة:

• تمثيل الكسر المستمر لعدد هو منتهي إذا وإذا كان العدد نسبي.
• تمثيلات الكسور المستمرة للأعداد النسبية البسيطة تكون عادة قصيرة.
• لكل عدد نسبي تمثيل فريد من الكسر المستمر.
• تمثيل الكسر المستمر لعدد غير نسبي هو فريد.
• بنود الكسر المستمر قابلة للمعاودة إذ وإذا كان فقط تمثيل الكسر المستمر عدد مربع غير نسبي.
• تقريب تمثيل الكسر المستمر لعدد x ينتج عنه تقريب نسبي لـx والذي يمثل التقريب الأمثل.

حساب تمثيل الكسور المستمرة

ليكن العدد الحقيقي r, وليكن i الجزء الصحيح وf الجزء الكسري ل r. وبالتالي يمثل الكسر المستمر بالصورة r is [i; …]، حيث "…" هو تمثيل الكسر المستمر لـ 1/f. من المعتاد ابدال الفاصلة الأولى بفاصلة منقوطة.

لحساب الكسر المستمر للعدد r، اكتب الجزء الصحيح. ثم اطرحه من r. إذا كان الفرق هو 0، توقف هنا; مالم جد المقلوب وأستمر بالعمليات السابقة. سيتوقع هذا الاجراء إذا وفقط إذا كان r نسبيا.

أوجد صورة الكسر المستمر للعدد 3.245
$3\,$	$3.245\ \left(3{\tfrac {49}{200}}\right)-3\,$	$=0.245\ \left({\tfrac {49}{200}}\right)\,$	$1/0.245\ \left({\tfrac {200}{49}}\right)\,$	$=4.082\ \left(4{\tfrac {4}{49}}\right)\,$
$4\,$	$4.082\ \left(4{\tfrac {4}{49}}\right)-4\,$	$=0.082\ \left({\tfrac {4}{49}}\right)\,$	$1/0.082\ \left({\tfrac {49}{4}}\right)\,$	$=12.250\ \left(12{\tfrac {1}{4}}\right)\,$
$12\,$	$12.250\ \left(12{\tfrac {1}{4}}\right)-12\,$	$=0.250\ \left({\tfrac {1}{4}}\right)\,$	$1/0.250\ \left({\tfrac {4}{1}}\right)\,$	$=4.000\,$
$4\,$	$4.000-4\,$	$=0.000\,$	توقف
الكسر المستمر لـ 3.245 هو [3; 4, 12, 4]
$3.245=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}$

صور الكسور المستمرة

$x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]\;$

أو

$x=a_{0}+{\frac {1\mid }{\mid a_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{3}}}.$

أو

$x=a_{0}+{1 \over a_{1}+}{1 \over a_{2}+{}}{1 \over a_{3}+{}}.$

وأحيانا

$x=\left\langle a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}\right\rangle .\;$

أو

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ]=\lim _{n\to \infty }[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}].$

الكسور المستمرة المنتهية

هناك صورتان للكسر المستمر المنتهي:

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n},1]=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n}+1].\;$

مثل,

$2.25=9/4=[2;3,1]=[2;4],\;$

$-4.2=-21/5=[-5;1,3,1]=[-5;1,4].\;$

الكسور المستمرة للمقاليب

مثل,

$2.25={\frac {9}{4}}=[2;4],\;$

${\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4].\;$

الكسور المستمرة غير المنتهية

${\frac {a_{0}}{1}},\qquad {\frac {a_{1}a_{0}+1}{a_{1}}},\qquad {\frac {a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}},\qquad {\frac {a_{3}(a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0})+(a_{1}a_{0}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}}.$

وبصيغة أخرى:

$h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},\qquad k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}.$

وتكون الصيغ المتقاربة

${\frac {h_{n}}{k_{n}}}={\frac {a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}{a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}}.$

بعض المبرهنات المفيدة

إذا كان a₀، a₁، a₂،... متوالية من الأعداد الموجبة، تعرف التعاقب $h_{n}$ و$k_{n}$ بالمعاودة:

$h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}\,$			$h_{-1}=1\,$		$h_{-2}=0\,$
$k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}\,$			$k_{-1}=0\,$		$k_{-2}=1\,$

نظرية 1

لاي $x\in \mathbb {R}$ موجب

$\left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n-1},x\right]={\frac {xh_{n-1}+h_{n-2}}{xk_{n-1}+k_{n-2}}}.$

نظرية 2

التقاربات [a₀; a₁, a₂,...]تعطى بالعلاقة

$\left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n}\right]={\frac {h_{n}}{k_{n}}}.$

نظرية 3

إذا كان التقارب النوني n لكسر مستمر هو $h_{n}/k_{n}$، حينئذ

$k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}=(-1)^{n}.\,$

نشر π في كسر مستمر

${\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},\,\ldots$

${\frac {3}{1}}+{\frac {1}{1\times 7}}-{\frac {1}{7\times 106}}+{\frac {1}{106\times 113}}-\cdots$

الصورة المختصرة:

$\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]$

أو

$\pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

كما أن هناك صيغ أكثر انتظاما:

$\pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+{\cfrac {11^{2}}{6+{\cfrac {13^{2}}{6+{\cfrac {15^{2}}{6+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}\ ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+{\cfrac {5^{2}}{11+{\cfrac {6^{2}}{13+{\cfrac {7^{2}}{15+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}$

أنماط منتظمة من الكسور المستمرة

$e=\exp(1)=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\dots ]\,\!.$

ولدينا أيضا، عندما n عدد صحيح أكبر من الواحد,

$\exp(1/n)=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,\dots ]\,\!.$

إذا كانت n ّعدد فردي

$\exp(2/n)=[1;(n-1)/2,6n,(5n-1)/2,1,1,\dots ,3k+(n-1)/2,(12k+6)n,3k+(5n-1)/2,1,1,\dots ]\,\!$

الحالة الخاصة عند n = 1:

$e^{2}=\exp(2)=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1,\dots ]\,\!.$

الكسر المستمر لظل المقلوب الزائدي

$\tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!$

حيث n عدد صحيح موجب; كذلك

$\tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15\dots ]\,\!$

و

$\tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,\dots ]\,\!.$

إذا كانت (I_n(x هي دالة بسل المعدلة من النوع الأول، فإنه يمكن تعريف دالة على الصورة الكسرية p/q

$S(p/q)={\frac {I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)}},$

$a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}$

كسر متصل منته,حيث a₀ هو عدد صحيح ما، و n هو عدد صحيح طبيعي و ai هي أعداد صحيحة طبيعية.

الكسور المستمرة هي واحدة من الطرق الأكثر طبيعية من أجل تمثيل الأعداد الحقيقية.

على سبيل المثال، العدد π يمثل بسلسلة الأعداد التالية :

(...,a_i = (3,1,4,1,5,9,2

لتمثيل الأعداد الحقيقية بالكسور المستمرة مجموعة من الخصائص المهمة :

• التمثيل لعدد حقيقي ما بالكسور المستمرة هو منته إذا و فقط إذا كان ذلك العدد جذريا.
• لكل عدد جذري تمثيل واحد، عموما، بالكسور المستمرة. على سبيل الدقة، كل عدد جذري يمثل بالكسور المستمرة على شكلين اثنين، يحدد منهما الواحد الآخر.

[a₀; a₁, … a_n − 1, a_n] = [a₀; a₁, … a_{n − 1}, a_n − 1, 1]

• لكل عدد غير جذري، تمثيل وحيد بالكسور المستمرة.

تاريخ الكسور المستمرة

• في عام 1737، درس ليونهارت أويلر خصائص الكسور المستمرة واستنتج أن e عدد غير جذري.
• في عام 1761، أثبت يوهان لامبرت لأول مرة أن ${\pi }$ عدد غير جذري. استعمل من أجل هذا الهدف الكسور المستمرة الممثِلة ل tan(x).

انظر أيضا

• شجرة ستيرن-بروكوت
• كسر مستمر معمم
• متسلسلة (رياضيات)
• جداء غير منته

وصلات خارجية

• ما هو الكسر المستمر وما تطبيقاته - موقع إجابة.