ط (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

  بعض سلسلة مقالات عن
الثابت الرياضي π

PI.svg

استعمالات: مساحة قرص · المحيط
 · في صيغ أخرى

خواص: لا نسبية  · عدد متسام
 · أقل من 22/7

قيمة: تقريبات · تذكّر

أشخاص: أرشميدس · زو تشونغزي
 · مادهافا السنغماراي · وليم جون  · جون ماكن · جون رنش

تاريخ: تسلسل زمني · كتاب

ثقافة: تشريع  · إجازة

متعلقات: تربيع الدائرة  · مسألة بازل · أخرى


پاي ({\pi}) أو ط[بحاجة لمصدر] أو ثابت الدائرة هو ثابت رياضي يستخدم في الرياضيات والفيزياء بشكل مكثف. الرمز {\pi} مأخوذ من الحرف الإغريقي الصغير پاي. وهو عدد حقيقي غير كسري أي لا يمكن كتابته على شكل  a/b حيث a و b عددان صحيحان. وهو أيضاً عدد متسامٍ أي غير جبري. يعرف هذا العدد أيضا باسم ثابت أرخميدس. ويساوي تقريبا 3.14159.

ط هو النسبة بين محيط الدائرة وقطرها بمعنى أوضح محيط الدائرة يساوي (3.14159) مرة قطرها. مُثل هذا الثابت بالحرف الإغريقي {\pi} منذ منتصف القرن الثامن عشر. كون {\pi} عددا متساميا يعني عدم إمكانية حل المعضلة القديمة جدا والمتمثلة في تربيع الدائرة.

بما أن تعريف پاي، يتعلق بالدائرة، فإنها موجودة بكثرة في صغات حساب المثلثات والهندسة الرياضية، خصوصا تلك التي تتعلق بالدوائر والإهليلجات والكرات. هي موجودة أيضا في صيغ من مجالات أخرى من العلوم كعلم الكون ونظرية الأعداد والإحصاء والهندسة الكسيرية والديناميكا الحرارية والميكانيكا والفيزياء الكهرومغناطيسية.

عندما يكون قطر دائرة مساويا ل 1، يكون محيطها مساويا ل π.

ومن المعروف أن الأعداد غير النسبية لا يمكن تمثيلها بكسر عشري منته، لكن من المعتاد تقريب ط بالقيمة 3.14 أو  22/7 .

الأساسيات[عدل]

الاسم[عدل]

عمم ليونهارد أويلر استعمال الحرف الإغريقي {\pi} في عمل له نشره عام 1748.

الرمز المستعمل من طرف علماء الرياضيات من أجل تمثيل النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هو الحرف الإغريقي {\pi} و يُقرأ هذا الحرف باي[1] و لا ينبغي خلط هذا الحرف مع العدد Π، والذي يعني الجداء. يُنطق {\pi} في اللغة الإنجليزية(/p/).[2]

أول عالم رياضيات استعمل الحرف الإغريقي من أجل تمثيل نسبة محيط الدائرة على قطرها هو ويليام جونز، الذي استعملها في عام 1706 في عمل له.

التعريف[عدل]

محيط دائرة يزيد بقليل عن ثلاثة أضعاف قطرها. تساوي النسبة بينهما \pi

{\pi} هي نسبة محيط الدائرة C على قطرها d:[3].

 \pi = \frac{C}{d}.

نسبة C/d هي ثابته بغض النظر عن حجم الدائرة. هذا التعريف ل \pi يستعمل بشكل غير مباشر مفهوم الهندسة الأقليدية المسطحة. رغم أن مفهوم الدائرة قد يمدد إلى الهندسة غير الإقليدية المنحنية، فإن هذه الدوائر الجديدة لا تحقق المعادلة  \pi = \frac{C}{d}.. هناك تعريفات أخرى لا تستعمل نهائيا الدوائر. على سبيل المثال، \pi هو ضعف أصغر عدد موجب حيث تنعدم دالة الجيب التمام (Cosine).

الخصائص[عدل]

A diagram of a square and circle, both with identical area; the length of the side of the square is the square root of pi
بما أن {\pi} عدد متسام، تربيع الدائرة غير ممكن في عدد منته من الخطوات باستعمال الأدوات الكلاسيكية المتمثلة في الفرجار والمسطرة.

π عدد غير جذري. هذا يعني أنه لا يمكن كتابته على شكل نسبة عددين صحيحين، ك 22/7، أو أي كسر آخر مستعمل تقريبا ل π. ولهذا السبب، فإن ل π عدد غير منته من الأرقام بعد الفاصلة في تمثيله العشري، وأنه لا توجد أي سلسلة من الأرقام تتكرر بشكل غير منته. هناك عدة براهين تثبت أن π عدد غير جذري.

π عدد متسام. هذا يعني أنه لا يمكن أن يكون جذرا لأي متعددة حدود غير منعدمة عواملها أعداد جذرية، كما هو الحال بالنسبة لمتعددة الحدود \scriptstyle \frac{x^5}{120} - \frac{x^3}{6} + x = 0.. لتسامي π نتيجتان مهمتان أولهما : لا يمكن أن يُعبر عن π بأي دمج لأعداد جذرية وجذور مربعة وجذور مكعبة وما يشبه ذلك ك \scriptstyle \sqrt[3]{31} أو \scriptstyle \sqrt[2]{10}.. أما ثانيهما، فهو بما أنه يُستحال انشاء عدد متسام بواسطة البركار والمسطرة، فإنه أيضا من المستحيل تربيع الدائرة.

الكسور المستمرة[عدل]

العدد ط، كونه عددا غير جذري، لا يمكن تمثيله ككسر بسيط. هاته الخاصية تبقى صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد غير الجذرية. ولكن الأعداد غير الجذرية، بما في ذلك ط، يمكن تمثيلها بكسور متكررة تسمى الكسور المستمرة:


\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}

ايقاف هذا الكسر المستمر في مستوى ما يعطي تقريبا معينا للعدد ط. استعمل الكسران 22/7 و 355/113 عبر التاريخ من أجل إعطاء قيمة مقربة للعدد ط. رغم عدم وجود أي انتظام أو تكرار في الكسر المستمر البسيط الذي يعطي قيمة العدد ط، فإن علماء الرياضيات وجدوا كسورا مستمرة معممة تحتوي على سلاسل عددية منتطمة أو متكررة. مثالا الكسور المستمرة التالية:

\pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\ddots}}}}}
=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\ddots}}}}}

قيمة مقربة[عدل]

قيمة {\pi} التقريبية حتى 1000 مرتبة عشرية:

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094 3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912 9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859 5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 15982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

A photograph of the Greek letter pi, created as a large stone mosaic embedded in the ground.
مُثل الثابت {\pi} في هذا الفسيفساء خارج مبنى لتدريس الرياضيات في معهد برلين للتكنولوجيا.

التاريخ[عدل]

في العصور القديمة والوسطى[عدل]

من غير المعروف كيف ومتى اكتشف الإنسان أن النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هي نسبة ثابتة، لكن من الأكيد أن هذه الحقيقة قد عرفت منذ قديم الزمان. فالحضارات القديمة كالحضارة المصرية والبابلية تعاملت مع ط، كان البابليون يستخدمون التقريب 25/8 بينما استخدم المصريون التقريب 256/81.[4] ويرجع حصر قيمة {\pi} بين  22/7 و 221/73 إلى العالم اليوناني أرخميدس الذي ابتكر طريقة الاستنفاذ لحساب قيمة تقريبية للعدد ط.

في القرون التالية اهتم الفلكيون بتدقيق الحساب التقريبي لـ ط، وأوجد الفلكيون الهنود والصينيون عدة صيغ للقيمة التقريبية، وشارك العلماء العرب والمسلمون في تحسين تلك الصيغ، فتوصل غياث الدين جمشيد الكاشي في القرن الخامس عشر لحساب قيمة تقريبية صحيحة حتى ستة عشر رقما عشريا، وكان ذلك قبل ظهور الالات الحاسبة بأربعمائة سنة.

عصر التقريب بمتعددي الأضلع[عدل]

يمكن أن تعطي قيم مقربة ل {\pi} بحساب مساحات متعددي الأضلاع المحيطة بالدائرة والمحاطة بها.
A painting of a man studying
أرخميدس طور طريقة التقريب بحساب مساحة متعددي الأضلاع {\pi}.

المتسلسلات غير المنتهية[عدل]

A formal portrait of a man, with long hair
استعمل إسحاق نيوتن المتسلسلات غير المنتهية لحساب {\pi} إلى حدود خمسة عشر رقماً، كاتباً فيما بعد ""استحي أن أقول لكم to how many figures I carried هذه الحسابات".[5]

تطور حساب ط بشكل هائل في القرنين السادس عشر والسابع عشر بفضل اكتشاف المتسلسلات غير المنتهية، والتي هي مجاميع تحتوي على عدد غير منته من الحدود.

أول متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا كانت جداءا غير منته (بدلا من مجموع غير منته كما جرت العادة من أجل حساب العدد ط)، اكتشفها عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت عام 1593:

 \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots

ثاني متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا، وجدها جون واليس في عام 1655. وكانت هي أيضا جداءا غير منته.

في أوروبا، أُعيد اكتشاف صيغة مادهافا من طرف عالم الرياضيات السكوتلاندي جيمس غريغوري في عام 1671 ومن طرف لايبنز في عام 1674.


\arctan z = z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots

هاته الصيغة، المعروفة باسم متسلسلة غريغوري-لايبنز، تساوي \scriptstyle \pi/4 عندما يساوي z واحدا.

في عام 1706، استعمل جون ماشن متسلسلات غريغوري-لايبنز فوجد خوارزمية تؤول إلى العدد ط بسرعة أكبر من سابقاتها.

 \frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}

باستعمال هاته الصيغة، وصل ماشن إلى مائة رقم عشري بعد الفاصلة عند إعطائه لتقريب للعدد ط. وهي الطريقة التي استعملت فيما بعد في أجهزة الحاسوب وحتى عهد قريب. انظر صيغة مشابهة لصيغة ماشن.

سرعة الاقتراب

متسلسلات تحسب قيمة {\pi} بعد الدورة الأولى بعد الدورة الثانية بعد الدورة الثالثة بعد الدورة الرابعة بعد الدورة الخامسة تؤول إلى :
\scriptstyle \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} \cdots. 4.0000 2.6666... 3.4666... 2.8952... 3.3396... {\pi} = 3.1415...
\scriptstyle \pi = {{3}} + \frac{{4}}{2\times3\times4} - \frac{{4}}{4\times5\times6} + \frac{{4}}{6\times7\times8} \cdots. 3.0000 3.1666... 3.1333... 3.1452... 3.1396...

كون π عددا غير جذري وكونه عددا متساميا[عدل]

لم يكن الهدف الوحيد من تطور الرياضيات المتعلقة ب π هو حساب أكبر قدر ممكن من الأرقام في تمثيلها العشري. عندما حلحل أويلر معضلة بازل عام 1735، واجدا بذلك القيمة الدقيقة لمجموع مقلوبات مربعات الأعداد الصيحيحة الطبيعية، أثبت وجود علاقة وطيدة بينها وبين الأعداد الأولية. ساهم ذلك فيما بعد، بتطور ودراسة دالة زيتا لريمان.

 \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdot \cdots

برهن العالم السويسري يوهان هاينريش لامبرت في عام 1761 أن π عدد غير جذري، مما يعني أنه لا يمكن أن يساوي نسبة عددين صحيحين. استعمل برهان لامبرت تمثيلا بالكسور المستمرة لدالة الظل. برهن عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجاندر في عام 1794 أن {\pi}^2 هو أيضا عدد غير جذري. في عام 1882، برهن عالم الرياضيات الألماني فيردينوند فون ليندمان أن π عدد متسام، مثبتا بذلك حدسية كل من ليجاندر و أويلر.

عصر الحاسوب والخوارزمات التكرارية[عدل]

Formal photo of a balding man wearing a suit
جون فون نيومان كان عضوا في الفرقة التي التي استعملت حاسوبا للمرة الأولى من أجل حساب، ENIAC، ط.

مع ظهور الآلات الحاسبة ثم الحاسبات الإلكترونية والنظرية الرياضية للنهايات والمتسلسلات اللانهائية تحسنت قدرة العلماء على حساب قيم تقريبية للعدد ط، ووصل السجل العالمي حتى عام 2002 إلى أكثر من تريليون رقم عشري. الجدير بالذكر أن فابريس حطم رقما قياسيا جديدا في 31 ديسمبر 2009 حين قام بحساب هذا العدد على حاسوب شخصي إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية، وقد استغرقه الحساب 131 استخدم خلالهاأسرع خوارزمية على الإطلاق حتى اليوم وكتب الشفرة المصدرية بلغة سي.[6][7]

ما الهدف من حساب ط ؟[عدل]

حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة والمخروط والطارة

المتسلسلات المتقاربة بسرعة[عدل]

Photo portrait of a man
سرينفاسا أينجار رامانجن، يعمل في معزل في الهند، أنتج عددا من المتسلسلات الرائدة التي تمكن من حساب ط.

خوارزميات الحنفية[عدل]

اكتشفت خوارزميتان ي عام 1995، فتحتا بابا واسعا للبحث المتعلق بالعدد ط. هاتان الخوارزميتان تسميان بخوارزميات الحنفية لأنها كسيلان الماء من حنفية، تنتج أرقاما في التمثيل العشري للعدد ط، لا تستعمل ولا يُحتاج إليها بعد حسابها.

اكتشفت خوارزمية حنفية أخرى في عام 1995، وهي خوارزمية BBP لاستئصال الأرقام العشرية. تم اكتشافها من طرف سيمون بلوف.

 \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)

كونها بصيغة كسرية يمكن بها استخلاص الأرقام السداسية عشر والثنائية دون حساب سابقاتها وبها أمكن الوصول إلى 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية.

الاستعمال[عدل]

في الهندسة وحساب المثلثات[عدل]

A diagram of a circle with a square coving the circle's upper right quadrant.
مساحة الدائرة تساوي ط مرة مساحة المربع الملون.
Diagram showing graphs of functions
دالتا الجيب وجيب التمام دوريتان دورتهما تساوي 2ط.

يظهر العدد ط في حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة والمخروط والطارة. فيما يلي، بعض من الصيغ الأكثر أهمية والتي تحتوي على العدد ط :

  • محيط دائرة شعاعها r هو  2 \pi r.
  • مساحة دائرة شعاعها r هي  \pi r^2.
  • حجم كرة شعاعها r هو  \tfrac43\pi r^3.
  • مساحة كرة شعاعها r هو  4 \pi r^2.

طريقة مونت كارلو
طرق مونت كارلو من أجل ايجاد قيمة مقربة للعدد ط بطيئة جدا مقارنة مع طرق أخرى، وبالتالي، لا تستعمل أبدا إذا كانت السرعة والدقة هما المطلوبتان.

في الأعداد العقدية والتحليل[عدل]

A diagram of a unit circle centered at the origin in the complex plane, including a ray from the center of the circle to its edge, with the triangle legs labeled with sine and cosine functions.
الربط بين القوى التخيلية للعدد e والنقط الموجودة على الدائرة الوحدة التي مركزها هو مركز المستوى العقدي أعطته صيغة أويلر.

كل عدد عقدي، يمكن أن يُعبر عنه باستعمال عددين حقيقين. في النظام الإحداثي القطبي، يستعمل عدد حقيقي r (الشعاع أو نصف القطر) من أجل تمثيل المسافة بين z وأصل المعلم في المستوى العقدي. ويستعمل عدد حقيقي ثان (الزاوية أو φ) يمثل كمية الدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة، انطلاقا من نصف محور الأراتيب المحتوي على الأعداد الحقيقية الموجبة ووصولا إلى z ذاته، كما يلي:

z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi)

حيث i هي الوحدة التخيلية التي تحقق i2 = −1. الظهور المكثف للعدد ط في التحليل العقدي قد يكون مرتبطا بالدالة الأسية لمتغير عقدي، كما وصفت ذلك صيغة أويلر :

e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi

حيث الثابتة e هي أساس اللوغارتم الطبيعي. في هاته الصيغة، عندما يكون φ مساويا ل π، تنتج صيغة أويل متطابقة أويلر، التي نظر إليها علماء الرياضيات كثيرا لاحتوائها على الثابتات الرياضياتية الخمسة، الأكثر أهمية:

e^{i \pi} + 1 = 0

في نظرية الأعداد ودالة زيتا لريمان[عدل]

دالة زيتا لريمان (ζ(s هي دالة مستعملة في مجالات عديدة من الرياضيات. عندما يكون s مساويا ل 2، يمكن أن تكتب كما يلي :

 \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdot \cdots

كان ايجاد قيمة هاته المتسلسلة غير المنتهية معضلة مشهورة في الرياضيات، تدعى معضلة بازل. حلحلها ليونهارد أويلر عام 1735 حيث برهن أنها تساوي \scriptstyle \frac{\pi^2}{6}. هاته النتيجة أدت إلى نتيجة أخرى في نظرية الأعداد وهي كون احتمال أن يكون عددان طبيعيان، اختيرا عشوائيا، أوليين فيما بينهما، مساويا ل \scriptstyle \frac{6}{\pi^2}.

\prod_p^{\infty} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = \left( \prod_p^{\infty} \frac{1}{1-p^{-2}} \right)^{-1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots } = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 61\%

يمكن لهذا الاحتمال أن يستعمل، بالإضافة إلى مولد للأعداد العشوائية، من أجل إعطاء قيمة مقربة ل \pi، اعتمادا على طريقة مونتي كارلو.

في الفيزياء[عدل]

يمكن رؤية العدد ط أو π في العديد من القوانين الفيزيائية من أهمها:

\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho
 \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
 R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}
 F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}
 \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,
\frac{P^2}{a^3}={(2\pi)^2 \over G (M+m)}

في الاحتمالات والإحصاء[عدل]

رسم بياني للدالة الغاوسية
ƒ(x) = ex2. المنطقة الملونة بين منحنى الدالة ومحور الأراتيب لها مساحة تساوي  \scriptstyle\sqrt{\pi} .

في علم الاحتمالات والإحصاء، توجد العديد من التوزيعات التي تحوي العدد π، منها ما يلي:

f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}
f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}.

في الهندسة وعلم الأرض[عدل]

صيغ حسابية للعدد ط[عدل]

توجد طرق عديدة ومختلفة لنشر وحساب العدد ط منها النشر بواسطة سلاسل تايلور وماكلورين، النشر بواسطة متسلسلات فوريير، النشر بالنظام الثنائي، والنشر بالكسور المستمرة.

النشر بواسطة متسلسلة ماكلورين[عدل]

إحدى المعادلات المعروفة لإيجاد ط هي :

 4 * (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \cdots \cdots)

ويمكن استنتاج هذه الصيغة من متسلسلة ماكلورين للدالة قوس ظا ((بالإنجليزية: arctan)) حيث

\arctan \, x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots\!

في الحقيقة لاتستخدم الالات الحسابية السلسلة السابقة (عند تعويض x =1) بسبب تقاربها البطيء ويمكن ملاحظة ذلك عند الوصول إلى رقم المليون وواحد مثلا ستكون الدقة لاتتجاوز خمس مراتب عشرية، وهكذا.

يمكن استعمال الصيغة الرياضية عند تعويضات x أكبر من الواحد للحصول على تقارب أسرع مثل:

\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)\!

سلاسل أخرى[عدل]

هناك حسابات أخرى مثل:

  • مضروب واليس:
\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\!

اما في العصر الحديث فقد ظهرت خوارزميات أكثر تقاربا بكثير مثل:

  • سلسلة سرينيفاسا:
\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!
  • سلسلة الاخوان تشوندوفيسكي التي سمحت لاول مرة تقريب ط لمليار مرتبة عشرية عام 1989 باستخدام الحاسوب العملاق:
\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!

و كان لخواريزمية برنت سالامن الاكتشاف الاروع والتي تبدأ بوضع:

a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1\!

ثم المعاودة:

a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\!
t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n\!

حتى تصبح an وbn متقاربة بما يكفي. ويعطى تقريب π

\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.\!

في عام 2006 استطاع سيمون بلوف توليد سلسلة من الصيغ المدهشة بوضع q = eπ]]، وبالتالي

\frac{\pi}{24} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{q^n-1} - \frac{4}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right)
\frac{\pi^3}{180} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \left(\frac{4}{q^n-1} - \frac{5}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right)

وأخرى بالشكل،

\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right)

حيث q = eπ, k هو عدد فردي، وabc are اعداد نسبية. إذا كانت k على الشكل 4m + 3، تصبح الصيغة بالشكل المبسط،

p\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{2^{k-1}}{q^n-1} - \frac{2^{k-1}+1}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right)

صيغة بيلارد[عدل]

  • تم تحسين منشور سيمون بلوف بواسطة فابريس بيلارد واكتشاف صيغة حسابية جديدة أسرع بحوالي 43% من سابقتها كما أمكنه ولأول مرة بها حساب ط لرقم قياسي جديد على حاسوب شخصي لايتجاوز سعره 3000 دولار (وصل إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية مقارنة بالحساب السابق الذي تم بمساعدة الحاسوب العملاق للوصول إلى 2.6 ترليون مرتبة عشرية أو 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية) مع نهاية عام 2009 وتدعى هذه الصيغة بصيغة بيلارد:

\begin{align}
\pi = \frac1{2^6} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{10n}} \, \left(-\frac{2^5}{4n+1} \right. & {} - \frac1{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} \left. {} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac1{10n+9} \right)
\end{align}

انظر أيضا[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

المصادر[عدل]

  1. ^ Holton، David؛ Mackridge، Peter (2004). Greek: an Essential Grammar of the Modern Language. Routledge. ISBN 0-415-23210-4. , p. xi.
  2. ^ "pi". Dictionary.reference.com. 2 March 1993. اطلع عليه بتاريخ 18 June 2012. 
  3. ^ Arndt & Haenel 2006, p. 8
  4. ^ Richard J. Gillings (1972). Mathematics in the time of the Pharaohs. MIT press. صفحة 124. 
  5. ^ اكتب عنوان المرجع بين علامتي الفتح <ref> والإغلاق </ref> للمرجع Newton
  6. ^ BBC News - Pi calculated to 'record number' of digits
  7. ^ موقع فابريس محطم الرقم العالمي للعام 2010 لحساب ط
  8. ^ Miller، Cole. "The Cosmological Constant" (PDF). University of Maryland. اطلع عليه بتاريخ 2007-11-08. 
  9. ^ Imamura، James M (2005-08-17). "Heisenberg Uncertainty Principle". University of Oregon. اطلع عليه بتاريخ 2007-11-09. 
  10. ^ Einstein، Albert (1916). "The Foundation of the General Theory of Relativity" (PDF). Annalen der Physik. اطلع عليه بتاريخ 2007-11-09. 
  11. ^ Nave، C. Rod (2005-06-28). "Coulomb's Constant". HyperPhysics. Georgia State University. اطلع عليه بتاريخ 2007-11-09. 
  12. ^ "Magnetic constant". NIST. 2006 CODATA recommended values. اطلع عليه بتاريخ 2007-11-09. 
  13. ^ Weisstein، Eric W (2004-10-07). "Gaussian Integral". MathWorld. اطلع عليه بتاريخ 2007-11-08. 
  14. ^ Weisstein، Eric W (2005-10-11). "Cauchy Distribution". MathWorld. اطلع عليه بتاريخ 2007-11-08.