كسر مستمر

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

كسر مستمر منته, حيث n عدد صحيح موجب وa0 عدد صحيح, و ai عدد صحيح موجب بالنسبة إلى i=1,…,n.

في الرياضيات، الكسر المستمر هو كسر يأخذ الصيغة التالية :

حيث a0 عدد صحيح والاعداد (ai (i ≠ 0 هي أعداد موجبة. يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل.

إذا سُمح لكل بسط جزئي ومقام جزئي أن يأخذا قيما اختيارية، والتي يمكن أن تكون دوالا رياضية، يصبح التعبير الناتج كسرا مستمرا معمما.[1][2][3]

تحفيز[عدل]

الهدف الرئيسي من تعريف الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت للأعداد الحقيقية. الكثير يعلم عن التمثيل العشري للأعداد الحقيقية والتي تعرف بالعلاقة:

حيث a0 عدد صحيح، وكل ai آخر هو عنصر في المجموعة {0, 1, 2,..., 9}. بهذا التمثيل، يمكن تمثيل العدد باي π على سبيل المثال، بتعاقب من الاعداد (ai) = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...).

لهذا التمثيل بعض المشاكل. أحدها أن العديد من الأعداد النسبية تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. على سبيل المثال العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3,....). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.

لنتمعن العدد 415/93، يمكن وصفه على أنه تقريبا 4.4624، وبتقريب أكثر 4. في الحقيقة أكبر بقليل من 4، وبتقريب أكثر 4 + 1/2. ولكن 2 في المقام ليس صحيحا;المقام الأصح هو أكثر بقليل من 2، تقريبا 2 + 1/6، أي 415/93 4 + 1/(2 + 1/6). لكن 6 في المقام ليس دقيقا أيضا; أي أن القيمة الدقيقة للمقام هي 6+1/7. إذن 415/93 هو بالحقيقة 4+1/(2+1/(6+1/7)) بالضبط. بإهمال الاجزاء المتبقية من التعبير 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) يعطى الرمز المختصر [4; 2، 6، 7].

لهذا الترميز بعض الخصائص المميزة:

  • تمثيل الكسر المستمر لعدد هو منتهي إذا وإذا كان العدد نسبي.
  • تمثيلات الكسور المستمرة للأعداد النسبية البسيطة تكون عادة قصيرة.
  • لكل عدد نسبي تمثيل فريد من الكسر المستمر.
  • تمثيل الكسر المستمر لعدد غير نسبي هو فريد.
  • بنود الكسر المستمر قابلة للمعاودة إذ وإذا كان فقط تمثيل الكسر المستمر عدد مربع غير نسبي.
  • تقريب تمثيل الكسر المستمر لعدد x ينتج عنه تقريب نسبي لـx والذي يمثل التقريب الأمثل.

حساب تمثيل الكسور المستمرة[عدل]

ليكن العدد الحقيقي r, وليكن i الجزء الصحيح وf الجزء الكسري ل r. وبالتالي يمثل الكسر المستمر بالصورة r is [i; …]، حيث "…" هو تمثيل الكسر المستمر لـ 1/f. من المعتاد ابدال الفاصلة الأولى بفاصلة منقوطة.

لحساب الكسر المستمر للعدد r، اكتب الجزء الصحيح. ثم اطرحه من r. إذا كان الفرق هو 0، توقف هنا; مالم جد المقلوب وأستمر بالعمليات السابقة. سيتوقع هذا الاجراء إذا وفقط إذا كان r نسبيا.

أوجد صورة الكسر المستمر للعدد 3.245
توقف
الكسر المستمر لـ 3.245 هو [3; 4, 12, 4]

صور الكسور المستمرة[عدل]

أو

أو

وأحيانا

أو

الكسور المستمرة المنتهية[عدل]

هناك صورتان للكسر المستمر المنتهي:

مثل,

الكسور المستمرة للمقاليب[عدل]

مثل,

الكسور المستمرة غير المنتهية[عدل]

وبصيغة أخرى:

وتكون الصيغ المتقاربة

بعض المبرهنات المفيدة[عدل]

إذا كان a0، a1، a2،... متوالية من الأعداد الموجبة، تعرف التعاقب و بالمعاودة:

نظرية 1[عدل]

لاي موجب

نظرية 2[عدل]

التقاربات [a0; a1, a2,...]تعطى بالعلاقة

نظرية 3[عدل]

إذا كان التقارب النوني n لكسر مستمر هو ، حينئذ

نشر π في كسر مستمر[عدل]

الصورة المختصرة:

أو

كما أن هناك صيغ أكثر انتظاما:

أنماط منتظمة من الكسور المستمرة[عدل]

ولدينا أيضا, عندما n عدد صحيح أكبر من الواحد,

اذا كانت n ّعدد فردي

الحالة الخاصة عند n = 1:

الكسر المستمر لظل المقلوب الزائدي

حيث n عدد صحيح موجب; كذلك

و

إذا كانت (In(x هي دالة بسل المعدلة من النوع الأول، فإنه يمكن تعريف دالة على الصورة الكسرية p/q

كسر متصل منته,حيث a0 هو عدد صحيح ما, و n هو عدد صحيح طبيعي و ai هي أعداد صحيحة طبيعية.

الكسور المستمرة هي واحدة من الطرق الأكثر طبيعية من أجل تمثيل الأعداد الحقيقية.

على سبيل المثال، العدد π يمثل بسلسلة الأعداد التالية :

(...,ai = (3,1,4,1,5,9,2

لتمثيل الأعداد الحقيقية بالكسور المستمرة مجموعة من الخصائص المهمة :

  • التمثيل لعدد حقيقي ما بالكسور المستمرة هو منته إذا و فقط إذا كان ذلك العدد جذريا.
  • لكل عدد جذري تمثيل واحد، عموما، بالكسور المستمرة. على سبيل الدقة، كل عدد جذري يمثل بالكسور المستمرة على شكلين اثنين، يحدد منهما الواحد الآخر.

[a0; a1, … an − 1, an] = [a0; a1, … an − 1, an − 1, 1]

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية[عدل]

تاريخ الكسور المستمرة[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ "Estimating square roots, generalized continued fraction expression for every square root", The Ben Paul Thurston Blog نسخة محفوظة 13 ديسمبر 2017 على موقع واي باك مشين.
  2. ^ Hardy، G.H.؛ Wright، E.M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (الطبعة Fifth). Oxford. 
  3. ^ "E101 – Introductio in analysin infinitorum, volume 1". تمت أرشفته من الأصل في 12 يوليو 2015. اطلع عليه بتاريخ 16 مارس 2008. 

وصلات خارجية[عدل]