قوانين دي مورجان

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

تستخدم قوانين أوغست دو مورغان في قواعد المنطق في وصف نتيجة عكس عمليتي الضرب المنطقي(و) and و الجمع المنطقي(أو) or

NOT (P OR Q) = (NOT P) AND (NOT Q)
NOT (P AND Q) = (NOT P) OR (NOT Q)

و عن طريق الإشارات

\neg(p\vee q)\iff(\neg p)\wedge(\neg q)
\neg(p\wedge q)\iff(\neg p)\vee(\neg q)

حيث أن:

  • \neg علامة تعبر عن النفي المنطقي(لا)(NOT)
  • \wedge علامة تعبر عن الضرب المنطقي (و)(AND)
  • \vee علامة تعبر عن الجمع المنطقي(أو)(OR)
  • \iff علامة تعني متساويان منطقيا (إذا و فقط إذا)

وفي قوانيين الجبر البولييني

The intersection of A and B

الإتحاد و التقاطع يتبدلان تحت النفي.

\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}
\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}.

حيث أن:

  • \overline A هي عكس A
  • \cap تعبير يدل علي التقاطع(AND)
  • \cup تعبير يدل علي الإتحاد(OR)

الإثبات الرياضي لنظرية دي مورجان[عدل]

\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B} إذا وفقط إذا \overline{A \cap B}\subseteq\overline{A} \cup \overline{B} و \overline{A \cap B}\supseteq\overline{A} \cup \overline{B}.


x \in \overline{A \cap B}

x \notin {A \cap B}

x \notin A أو x \notin B

x \in \overline A أو x \in \overline B

x \in \overline A \cup \overline B

لذلك \overline{A \cap B}\subseteq\overline{A} \cup \overline{B}

x \in \overline A \cup \overline B

x \in \overline A أو x \in \overline B

x \notin A أو x \notin B

x \notin {A \cap B}

x \in \overline{A \cap B}

لذلك \overline{A \cap B}\subseteq\overline{A} \cup \overline{B}

\overline{A \cap B}\subseteq\overline{A} \cup \overline{B} و \overline{A \cap B}\supseteq\overline{A} \cup \overline{B}لذلك \overline{A \cap B}= \overline{A} \cup \overline{B}

\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B} يمكن إثباتها بنفس الطريقة.