قوانين دي مورغان

عامة

معلومات عامة

سُمِّي باسم	أغسطس دي مورغان
يدرسه	علم المنطق
تعريف الصيغة	$\neg (P\land Q)\vdash (\neg P\lor \neg Q).$ $\neg (P\lor Q)\vdash (\neg P\land \neg Q).$
الرموز في الصيغة	$P$ $Q$ $\land$
قاعدة مقبولة في	classical logic (en)

تستخدم قوانين دي مورجان في قواعد المنطق في وصف نتيجة عكس عمليتي الضرب المنطقي(و) and و الجمع المنطقي(أو) or

NOT (P OR Q) = (NOT P) AND (NOT Q)

NOT (P AND Q) = (NOT P) OR (NOT Q)

و عن طريق الإشارات

$\neg (p\vee q)\iff (\neg p)\wedge (\neg q)$

$\neg (p\wedge q)\iff (\neg p)\vee (\neg q)$

حيث أن:

• $\neg$ علامة تعبر عن النفي المنطقي(لا)(NOT)
• $\wedge$ علامة تعبر عن الضرب المنطقي (و)(AND)
• $\vee$ علامة تعبر عن الجمع المنطقي(أو)(OR)
• $\iff$ علامة fiuoio متساويان منطقيا (إذا و فقط إذا)

وفي قوانيين الجبر البولييني

The intersection of A and B

الاتحاد والتقاطع يتبدلان تحت النفي.

${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}.$

حيث أن:

• ${\overline {A}}$ هي عكس A
• $\cap$ تعبير يدل علي التقاطع(AND)
• $\cup$ تعبير يدل علي الاتحاد(OR)

الإثبات الرياضي لنظرية دي مورجان

${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ إذا وفقط إذا ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ و ${\overline {A\cap B}}\supseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$.

$x\in {\overline {A\cap B}}$

$x\notin {A\cap B}$

$x\notin A$ أو $x\notin B$

$x\in {\overline {A}}$ أو $x\in {\overline {B}}$

$x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

لذلك ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

$x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

$x\in {\overline {A}}$ أو $x\in {\overline {B}}$

$x\notin A$ أو $x\notin B$

$x\notin {A\cap B}$

$x\in {\overline {A\cap B}}$

لذلك ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ و ${\overline {A\cap B}}\supseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$لذلك ${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$ يمكن إثباتها بنفس الطريقة.