في الرياضيات ، تُستخدم صيغة جمع أبيل ، التي قدمها نيلز هنريك أبيل ، بشكل متكرر ومٌكثف في نظرية الأعداد ودراسة الدوال الخاصة لحساب المتسلسلات .
الصيغة[عدل]
لتكن متتالية من الأعداد الحقيقية أو المركبة . تُعرف دالة الجمع الجزئي بواسطة
لأي عدد حقيقي . ليكن ، ولتكن دالة قابلة للإشتقاق بشكل متصل في . إذاً:
يعتمد برهان الصيغة على تطبيق التكامل بالتجزئة لكل من الدوال و .
أشكال مختلفة[عدل]
إذا كان المتتالية مفهرسة من ، يمكننا أن نعرف . لتصبح الصيغة السابقة على الشكل الآتي :
من الطرق الشائعة لتطبيق صيغة جمع أبيل هي أن تأخذ . فتصبح الصيغة على الشكل الآتي :
هذه المعادلات صحيحة متى ما وُجدت كلتا النهايتين على الجانب الأيمن وكانتا منتهيتين.
أمثلة[عدل]
الأعداد التوافقية[عدل]
إذا كانت بلكل و فإن وتنتج الصيغة
الطرف الأيسر هو العدد التوافقي .
تمثيل دالة زيتا[عدل]
ليكن عددا عقديا. إذا توفر حيث و إذن وتصير الصيغة
إذا توفر , إذن النهاية عندما موجودة فتصير الصيغة
قد تستعمل هذه المسألة من أجل استنتاج مبرهنة ديريكليه والتي تنص على أن تملك قطبا بسيطا مع باق مساو لواحد عند s = 1.
تمثيل مقلوب دالة زيتا[عدل]
يمكن أن تستعمل التقنية المستعملة في المثال السابق على متسلسلات دركليه أخرى. إذا كانت هي دالة موبيوس و , إذن هي دالة ميرتنز و
الصيغة صحيحة حين يتوفر .
انظر أيضًا[عدل]
مراجع[عدل]