قوانين مساحة المثلث

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الهندسة الرياضية، تعطى مساحة المثلث بالقانون:

المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع

يقصد بالقاعدة أحد أضلاع المثلث و يقصد بالارتفاع العمود النازل من الرأس على القاعدة أو على امتدادها.

لاثبات ما سبق يحول المثلث إلى متوازي أضلاع مساحته ضعف مساحة المثلث،

و بعدها يحول إلى مستطيل طوله قاعدة المثلث و عرضه ارتفاع المثلث.

حساب مساحة المثلث هندسيا

و من هذا القانون تستنتج قوانين مساحة المثلث الأخرى.

قوانين المساحة للمثلث[عدل]

القانون الأول[عدل]

المثلث ABC.

يربط بين مساحة المثلث و جيب إحدى زواياه.

\underline{Area_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin{C}}

البرهان:

في المثلث ABC: القطعة المستقيمة AN ارتفاع و a,b,c أطوال أضلاع المثلث.

المثلث ANC مثلث قائم في N:

\Rightarrow Sin{C}=\frac{AN}{b}

(جيب الزاوية يساوي المقابل على الوتر في المثلث القائم)

\Rightarrow AN=b\sin{C}

Area_{ABC}=\frac{1}{2}a.AN=\frac{1}{2}ab\sin{C}

القانون الثاني[عدل]

دائرة محيطة بالمثلث

يوضح علاقة مساحة المثلث بنصف قطر الدائرة المحيطة به R.

\underline{Area_{ABC}=\frac{abc}{4R}}

البرهان:

باستخدام قانون الجيوب:

\frac{c}{\sin{C}}=2R

\Rightarrow sin{C}=\frac{c}{2R}

Area_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin{C}=\frac{abc}{4R}

القانون الثالث[عدل]

دائرة داخلية في المثلث ABC

يربط بين مساحة المثلث و نصف قطر الدائرة الداخلية r و نصف المحيط s.

\underline{Area_{ABC}=rs}

البرهان:

P مركز الدائرة الداخلية للمثلث

Area_{ABC}=Area_{BPC}+Area_{APC}+Area_{APB}

باستخدام "المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع" ثلاث مرات:

Area_{ABC}=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr

\Rightarrow Area_{ABC}=r\frac{a+b+c}{2}=rs

القانون الرابع[عدل]

يعرف بصيغة هيرو:

باعتبار أن a,b,c اطوال اضلاع المثلث قيم معلومة، فإن مساحة المثلث هي:

\underline{Area_{ABC}= \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}

حيث أن s نصف محيط المثلث.

القانون الخامس[عدل]

يعرف بصيغة جيوشاو:

\underline{Area_{ABC}=\frac1{2}\sqrt{a^2c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)^2}}

القانون السادس[عدل]

مساحة المثلث القائم بدلالة طول الوتر والمحيط تُعطى بالعلاقة : المساحة = ( 1 / 4 ) [ (المحيط)^2 - 2 × المحيط × طول الوتر ]

اقرأ أيضاً[عدل]