قوانين مساحة المثلث

في الهندسة الرياضية، تعطى مساحة المثلث بالقانون:

المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع

يقصد بالقاعدة أحد أضلاع المثلث و يقصد بالارتفاع العمود النازل من الرأس على القاعدة أو على امتدادها.

لاثبات ما سبق يحول المثلث إلى متوازي أضلاع مساحته ضعف مساحة المثلث،

و بعدها يحول إلى مستطيل طوله قاعدة المثلث و عرضه ارتفاع المثلث.

و من هذا القانون تستنتج قوانين مساحة المثلث الأخرى.

قوانين المساحة للمثلث

القانون الأول

المثلث ABC.

يربط بين مساحة المثلث و جيب إحدى زواياه.

$\underline{Area_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin{C}}$

البرهان:

في المثلث ABC: القطعة المستقيمة AN ارتفاع و a,b,c أطوال أضلاع المثلث.

المثلث ANC مثلث قائم في N:

$\Rightarrow Sin{C}=\frac{AN}{b}$

(جيب الزاوية يساوي المقابل على الوتر في المثلث القائم)

$\Rightarrow AN=b\sin{C}$

$Area_{ABC}=\frac{1}{2}a.AN=\frac{1}{2}ab\sin{C}$

القانون الثاني

دائرة محيطة بالمثلث

يوضح علاقة مساحة المثلث بنصف قطر الدائرة المحيطة به R.

$\underline{Area_{ABC}=\frac{abc}{4R}}$

البرهان:

باستخدام قانون الجيوب:

$\frac{c}{\sin{C}}=2R$

$\Rightarrow sin{C}=\frac{c}{2R}$

$Area_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin{C}=\frac{abc}{4R}$

القانون الثالث

دائرة داخلية في المثلث ABC

يربط بين مساحة المثلث و نصف قطر الدائرة الداخلية r و نصف المحيط s.

$\underline{Area_{ABC}=rs}$

البرهان:

P مركز الدائرة الداخلية للمثلث

$Area_{ABC}=Area_{BPC}+Area_{APC}+Area_{APB}$

باستخدام "المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع" ثلاث مرات:

$Area_{ABC}=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr$

$\Rightarrow Area_{ABC}=r\frac{a+b+c}{2}=rs$

القانون الرابع

يعرف بصيغة هيرو:

باعتبار أن a,b,c اطوال اضلاع المثلث قيم معلومة، فإن مساحة المثلث هي:

$\underline{Area_{ABC}= \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$

حيث أن s نصف محيط المثلث s=(a+b+c)\2

القانون الخامس

يعرف بصيغة جيوشاو:

$\underline{Area_{ABC}=\frac1{2}\sqrt{a^2c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)^2}}$

القانون السادس

مساحة المثلث القائم بدلالة طول الوتر والمحيط تُعطى بالعلاقة : المساحة = ( 1 / 4 ) [ (المحيط)^2 - 2 × المحيط × طول الوتر ]'

اقرأ أيضاً

• مثلث
• صيغة هيرو
• ارتفاع المثلث
• قانون الجيب
• دائرة محيطة

وصلات خارجية

• قوانين المساحة للمثلث
• صيغة هيرو