جيب (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، جيب زاوية (بالإنكليزية: Sine of an angle) هو طول الضلع المقابل لهذه الزاوية مقسوما على طول الوتر في مثلث ذي زاوية قائمة، حيث يكون الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. ويرمز له بالرمز (حا) أو (بالإنجليزية: sin).

في المثلث القائم: sin A = a/c; cos A = b/c; tan A = a/b.

في المثلث القائم في الشكل حيث يُرمز للوتر (الضلع الأكبر في المثلث) بالرمز c. فيكون تعريف جيب الزاوية A كالآتي:

جيب الزاوية A = المحور الصادي ÷ الوتر (أي a تقسيم c).

في الرياضيات وفي الفيزياء وفي الهندسة، تعتبر التوابع المثلثية أو الدوال المثلثية دوالا لزاوية هندسية من أهم الدوال المستخدمة فيها. وهي دوال تتردد في صيغ كثيرة جدا في العلوم ولا مجال لتقدم العلوم بدونها. ومن دراسة حساب المثلثات يمكن وصف ظواهرِ دورية مثل حساب أفلاك الكواكب في الفلك وحسابات التيار المتردد في الهندسة الكهربائية وغيرها.

يمكن تعريف هذه الدوال نسبة بين أضلاع مثلث قائم يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية إحداثيات على دائرة واحدية.

الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بالزاوية، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر الدورية المتكررة كالموجات. ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنها نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية، أو بشكل أوسع نسبةً بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات أن الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى إحداثي أو إقليدي)، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما.

أصل التسمية[عدل]

يعتقد أن كلمة "جيب" جاءت من اللاتينية sinus ومعناها كان يشمل الإكليل أو الخليج أو الحضن أو الصدر أو حتى الشيء المطوي، والتي ترجمت لاحقاً إلى العربية بكلمة جيب. قبل مجيء كلمة جيب في العربية أيضاً كانت كلمة قد استعيرت بطريقة الخطأ من لفظ في لغة هندية قديمة تعرف بالسنسكريتية هو jīvā بمعنى وتر وكانت ترادفها أيضاً كلمة jyā في تلك اللغة والتي استعملت في الأصل لوصف وتر قوس المحارب. يقال أن الكلمة jīvā استعيرت إلى العربية "جيبا" أثناء ترجمة العرب للكتب الهندية حيث كان فيهم علماء مولعون بالرياضيات ثم تحولت لاحقاً ربما صدفة إلى المعنى "جيب" والذي هو في العربية مرادف للكلمة اللاتينية الأصل sinus. هذا يعني أن الخطأ تكرر تاريخياً مرتين ليعيد المعنى الحقيقي ولكن ليس معروف تماماً إن كانت الترجمة الخاطئة لاحقاً تمت عن طريق العرب أم عن طريق الأوروبيين أثناء ترجمتهم للكتب العربية بحيث أعادوا ترجمة كلمة جيب على أنها في اللاتينية sinus.[بحاجة لمصدر]

الدوال الرئيسية للمثلث القائم[عدل]

هناك ثلاثة دوال مثلثية أساسية هي:

  • جا أو جيب الزاوية A = النسبة بين الضلع المقابل للزاوية a مقسوما على الوتر c.
  • جتا أو جيب التمام الزاوية A = النسبة بين الضلع المجاور للزاوية b مقسوما على الوتر c.
  • ظا أو ظل الزاوية A = النسبة بين الضلع المقابل للزاوية a والضلع المجاور لها b.

تأطيره[عدل]

بصفة عامة فإن قيمة جيب الزاوية محصورة بين (1-) و (1)، وكذلك قيمة جيب تمام الزواية. و بصفة خاصة فإن جيب الزاوية الحادة محصور بين (0) و (1)، وكذلك جيب التمام لها.[1]

تطبيق في الهندسة[عدل]

مثال المثلث القائم

بواسطة تعريف جيب الزاوية يمكن حساب الارتفاع h_c في المثلث ABC حيث :

متر a=5,4
والزاوية \beta=42^\circ:
\begin{align}
\frac{h_c}{a} &= \sin(\beta)\\
h_c &= a\cdot \sin(\beta)\\
h_c &= 5{,}4 \cdot \sin (42^\circ) \approx 3{,}613
\end{align}

متر

مثلما في المثال السابق يمكن حساب الأطوال (والارتفاعات) سواء كانت المقاييس المستخدمة بالمتر أو سنتيمتر أو كيلومتر.

قانون الجيب[عدل]

ينص قانون الجيب على أنه: في أي مثلث أضلاعه هي a و b و c والزوايا المقابلة لهذه الأضلاع هي A و B و C على الترتيب يكون:

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}.

أو يمكن صياغته بالشكل التالي:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,

حيث R هو نصف قطر الدائرة المحيطية لهذا المثلث.

دائرة الوحدة[عدل]

لحساب جيب الزاوية عندما تتغير الزاوية A بين 0 و 360 درجة يمكن استخدام دائرة الوحدة. تستخدم تلك الطريقة كثيرا في الفيزياء والفلك والهندسة الكهربائية. وتفسح دائرة الوحدة المجال لحساب الدوال الموجية ، ونبين هنا رسما بيانيا لما يسمى الموجة الجيبية.

دائرة الوحدة.
توضيح لدالة الجيب (بالأحمر) y = \sin{\theta} كنقطة تتحرك على دائرة الوحدة بزاوية θ بالتقدير الدائري.


حساب جيب الزاوية[عدل]

دالة الجيب (أزرق) ومقاربتها بواسطة متسلسة تايلور من الدرجة السابعة(وردي).

يمكن التعبير عن جيب الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:


\begin{align}
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[8pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}, \\[8pt]
\end{align}
كلما أخذنا عدد أكبر من الحدود الجبرية كلما كانت متسلسلة تايلور أكثر تعبيرا عن دالة الجيب.

اذا كانت الزاوية مقاسة بالدرجات فسوف تحتوي السلسلة علي كسور مكونة من قوي "ط" مقسومة علي 180 كالتالي:

\begin{align}
\sin x_\mathrm{deg} & = \sin y_\mathrm{rad} \\
& = \frac{\pi}{180} x - \left (\frac{\pi}{180} \right)^3\ \frac{x^3}{3!} + \left (\frac{\pi}{180} \right)^5\ \frac{x^5}{5!} - \left (\frac{\pi}{180} \right)^7\ \frac{x^7}{7!} + \cdots.
\end{align}

كما يمكن التعبير عن جيب الزاوية x بواسطة الكسر المستمر التالي:

 \sin x = 
\cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2\cdot3-x^2 + 
\cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5-x^2 + 
\cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7-x^2 + \ddots}}}}.

قيم الجيب لبعض الزوايا[عدل]

جا(x)
بعض الزوايا الشائعة موضحة علي دائرة الوحدة.مقدرة بالدرجات.مع قيم الجيب وجيب التمام المناظرة لها(جا θ, جتا θ).
x (الزاوية) جيب الزاوية x
درجات دائري غراد القيمة بالضبط بالنظام العشري
0 0g 0 0
180° \pi 200g
15° \frac{\pi}{12} 1623g \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} 0.258819045102521
165° \frac{11 \cdot \pi}{12} 18313g
30° \frac{\pi}{6} 3313g \frac{1}{2} 0.5
150° \frac{5 \cdot \pi}{6} 16623g
45° \frac{\pi}{4} 50g \sqrt{\frac{1}{2}} 0.707106781186548
135° \frac{3 \cdot \pi}{4} 150g
60° \frac{\pi}{3} 6623g \frac{\sqrt{3}}{2} 0.866025403784439
120° \frac{2 \cdot \pi}{3} 13313g
75° \frac{5 \cdot \pi}{12} 8313g \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} 0.965925826289068
105° \frac{7 \cdot \pi}{12} 11623g
90° \frac{\pi}{2} 100g 1 1

انظر أيضا[عدل]


  1. ^ موقع كتاب فيري للرياضيات.