جداء ثلاثي

جداء ثلاثي في الرياضيات (بالإنجليزية: Triple product) هو حاصل ضرب ثلاثة متجهات. وتكون نتيجته إما "جداء ثلاثي غير متجه " أو "جداء ثلاثي متجه" وهذا الأخير يحدث نادرا في الفيزياء .

جداء ثلاثي غير متجه

ثلاثة متجهات تحدد متوازي السطوح .

يعرّف الجداء الثلاثي غير المتجه بأنه حاصل ضرب جداء قياسي لأحد المتجهات في جداء اتجاهي.

التفسير الهندسي

التفسير الهندسي للجداء الثلاثي غير متجه

$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})$

هو حجم متوازي السطوح الممثل بثلاثة متجهات .

خواصه

• لا يتأثر الجداء الثلاثي غير المتجة بالإزاحة الدورانية ويتكون من ثلاثة متجهات (a, b, c):

$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})$

• استبدال المتجهين في الجداء الاتجاهي يعكس إشارة ناتج الجداء الثلاثي:

$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = -\mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{b})$

ترميزات مستخدمة أخرى

تستخدم بعض الرميزات الأخرى للتعبير عن الضرب الثلاثي غير المتجه مثل : $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.

وكذلك : $[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ]$ و $\langle \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \rangle$.

شرح الخواص

عملية الضرب الثلاثي غير المتجه ليست عملية تبديلية. ولكن قيمته لا تتغير إذا بادلنا المعاملات تبديلا دورانيا:

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}$.

• ويمكن حساب الجداء الثلاثي بواسطة المحددات ، فمثلا ينطبق علي المعادلة :

$\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix},\ \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix},\ \vec c = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}$

ينطبق عليها أن يكون :

$(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}$

ويمكن إثبات ذلك بإجراء الحساب:

• حيث أن الضرب القياسي يكون عملية تبديلية ، فنحصل على:

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$.

أي باختيار أقواسا مناسبة يمكن تبديل العلامات الحسابية.

• وبعكس التبادل الدوراني ينتج عند إجراء تبادل دوراني مضاد تغيير للإشارة :

$\left( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right) = - \left( \vec{b}, \vec{a}, \vec{c} \right)$

• كما أنه نظرا إلى أن $\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$ يكون :

$\left( \vec{a}, \vec{a}, \vec{b} \right) = 0$

• والضرب في كمية غير متجهة $\alpha \in \mathbb{R}$ تنتج :

$\left( \alpha \cdot \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right) = \alpha \cdot \left( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right)$

وهي عملية تسمى عملية تجميعية.

جداء ثلاثي متجه

يعرف الجداء الثلاثي المتجه بإنه ضرب اتجاهي لمتجه مضروبا في ضرب اتجاهي آخر. وتنطبق عليه القاعدة التالية:

$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}$

$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = -(\mathbf{c}\cdot\mathbf{b})\mathbf{a} + (\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b}$ .

تعرف المعادلة الأولى بأنها " معادلة لاجرانج" أو "الضرب الثلاثي الممتد"

ويمكن تذكر الجزء الأيمن من المعادلة بالترميز "BAC - CAB" مع تذكر أي متجهات تكون فيها عملية الضرب قياسية (علامة الضرب "النقطية") .

ولإثبات ذلك نبدأ بالمعادلات التي تسهل حسابات المتجهات في الفيزياء . ومن ضمنها معادلات التدرج - مثل تدرج مجال مغناطيسي أو تدرج درجات الحرارة وهي تدرجات تنتسب إلى تغير المكان - وتسهل حسابات المتجهات :

$\begin{align} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) & {}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\ & {}= \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} ) - \nabla^2 \mathbf{f}. \end{align}$

حيث $\Delta$ هي مؤثر لابلاس.

إنظر أيضا

• ضرب اتجاهي
• ضرب قياسي
• ضرب المصفوفات
• ضرب ديكارتي,

وصلات خارجية

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.