جداء ثلاثي
في الرياضيات، جداء ثلاثي (بالإنجليزية: Triple product) هو حاصل ضرب ثلاثة متجهات. وتكون نتيجته إما «جداء ثلاثيا غير متجه» أو «جداء ثلاثيا متجها» وهذا الأخير يحدث نادرا في الفيزياء.
جداء ثلاثي غير متجه[عدل]
يعرّف الجداء الثلاثي غير المتجه بأنه حاصل ضرب جداء قياسي لأحد المتجهات في جداء اتجاهي.
التفسير الهندسي[عدل]
التفسير الهندسي للجداء الثلاثي غير متجه
هو حجم متوازي السطوح الممثل بثلاثة متجهات.
خواصه[عدل]
- لا يتأثر الجداء الثلاثي غير المتجة بالإزاحة الدورانية ويتكون من ثلاثة متجهات (a, b, c):
- استبدال المتجهين في الجداء الاتجاهي يعكس إشارة ناتج الجداء الثلاثي:
ترميزات مستخدمة أخرى[عدل]
تستخدم بعض الرميزات الأخرى للتعبير عن الضرب الثلاثي غير المتجه مثل: .
وكذلك: و .
شرح الخواص[عدل]
عملية الضرب الثلاثي غير المتجه ليست عملية تبديلية. ولكن قيمته لا تتغير إذا بادلنا المعاملات تبديلا دورانيا:
- .
- ويمكن حساب الجداء الثلاثي بواسطة المحددات، فمثلا ينطبق علي المعادلة:
ينطبق عليها أن يكون:
ويمكن إثبات ذلك بإجراء الحساب:
- حيث أن الضرب القياسي يكون عملية تبديلية، فنحصل على:
- .
أي باختيار أقواسا مناسبة يمكن تبديل العلامات الحسابية.
- وبعكس التبادل الدوراني ينتج عند إجراء تبادل دوراني مضاد تغيير للإشارة:
- كما أنه نظرا إلى أن يكون:
- والضرب في كمية غير متجهة تنتج:
وهي عملية تسمى عملية تجميعية.
جداء ثلاثي متجه[عدل]
يعرف الجداء الثلاثي المتجه بإنه ضرب اتجاهي لمتجه مضروبا في ضرب اتجاهي آخر. وتنطبق عليه القاعدة التالية:
- .
تعرف المعادلة الأولى بأنها «معادلة لاجرانج» أو «الضرب الثلاثي الممتد» [1][2]
ويمكن تذكر الجزء الأيمن من المعادلة بالترميز "BAC - CAB" مع تذكر أي متجهات تكون فيها عملية الضرب قياسية (علامة الضرب «النقطية»).
ولإثبات ذلك نبدأ بالمعادلات التي تسهل حسابات المتجهات في الفيزياء. ومن ضمنها معادلات التدرج - مثل تدرج مجال مغناطيسي أو تدرج درجات الحرارة وهي تدرجات تنتسب إلى تغير المكان - وتسهل حسابات المتجهات: [3]
حيث هي مؤثر لابلاس.
انظر أيضا[عدل]
مراجع[عدل]
- ^ جوزيف لوي لاغرانج did not develop the cross product as an algebraic product on vectors, but did use an equivalent form of it in components: see Lagrange, J-L (1773)، "Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires"، Oeuvres، ج. vol 3.
{{استشهاد بكتاب}}
:|المجلد=
has extra text (مساعدة) He may have written a formula similar to the triple product expansion in component form. See also Lagrange's identity and كيوشي إيتو (1987)، Encyclopedic Dictionary of Mathematics، MIT Press، ص. 1679، ISBN 0-262-59020-4. - ^ كيوشي إيتو (1993)، "§C: Vector product"، Encyclopedic dictionary of mathematics (ط. 2nd)، MIT Press، ص. 1679، ISBN 0-262-59020-4، مؤرشف من الأصل في 31 أكتوبر 2014.
- ^ Pengzhi Lin (2008)، Numerical Modelling of Water Waves: An Introduction to Engineers and Scientists، Routledge، ص. 13، ISBN 0-415-41578-0، مؤرشف من الأصل في 2 ديسمبر 2016.