جداء ثلاثي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

جداء ثلاثي في الرياضيات (بالإنجليزية: Triple product) هو حاصل ضرب ثلاثة متجهات. وتكون نتيجته إما "جداء ثلاثي غير متجه " أو "جداء ثلاثي متجه" وهذا الأخير يحدث نادرا في الفيزياء .


جداء ثلاثي غير متجه[عدل]

ثلاثة متجهات تحدد متوازي السطوح .

يعرّف الجداء الثلاثي غير المتجه بأنه حاصل ضرب جداء قياسي لأحد المتجهات في جداء اتجاهي.

التفسير الهندسي[عدل]

التفسير الهندسي للجداء الثلاثي غير متجه

 \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})

هو حجم متوازي السطوح الممثل بثلاثة متجهات .

خواصه[عدل]

  • لا يتأثر الجداء الثلاثي غير المتجة بالإزاحة الدورانية ويتكون من ثلاثة متجهات (a, b, c):

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})

 \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) =
-\mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{b})

ترميزات مستخدمة أخرى[عدل]

تستخدم بعض الرميزات الأخرى للتعبير عن الضرب الثلاثي غير المتجه مثل : (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}.

وكذلك : [ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ] و \langle \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \rangle.

شرح الخواص[عدل]

عملية الضرب الثلاثي غير المتجه ليست عملية تبديلية. ولكن قيمته لا تتغير إذا بادلنا المعاملات تبديلا دورانيا:


(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} .
  • ويمكن حساب الجداء الثلاثي بواسطة المحددات ، فمثلا ينطبق علي المعادلة :
\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix},\ \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix},\ \vec c = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}

ينطبق عليها أن يكون :

(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ 
a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix} =
\det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}

ويمكن إثبات ذلك بإجراء الحساب:

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}).

أي باختيار أقواسا مناسبة يمكن تبديل العلامات الحسابية.

  • وبعكس التبادل الدوراني ينتج عند إجراء تبادل دوراني مضاد تغيير للإشارة :
\left( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right) = - \left( \vec{b}, \vec{a}, \vec{c} \right)
  • كما أنه نظرا إلى أن \vec{a}\times\vec{a}=\vec{0} يكون :
\left( \vec{a}, \vec{a}, \vec{b} \right) = 0
  • والضرب في كمية غير متجهة \alpha \in \mathbb{R} تنتج :
\left( \alpha \cdot \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right) = \alpha \cdot \left( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right)

وهي عملية تسمى عملية تجميعية.

جداء ثلاثي متجه[عدل]

يعرف الجداء الثلاثي المتجه بإنه ضرب اتجاهي لمتجه مضروبا في ضرب اتجاهي آخر. وتنطبق عليه القاعدة التالية:

\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}
(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = -(\mathbf{c}\cdot\mathbf{b})\mathbf{a} + (\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b} .

تعرف المعادلة الأولى بأنها " معادلة لاجرانج" أو "الضرب الثلاثي الممتد" [1][2]

ويمكن تذكر الجزء الأيمن من المعادلة بالترميز "BAC - CAB" مع تذكر أي متجهات تكون فيها عملية الضرب قياسية (علامة الضرب "النقطية") .

ولإثبات ذلك نبدأ بالمعادلات التي تسهل حسابات المتجهات في الفيزياء . ومن ضمنها معادلات التدرج - مثل تدرج مجال مغناطيسي أو تدرج درجات الحرارة وهي تدرجات تنتسب إلى تغير المكان - وتسهل حسابات المتجهات : [3]

 \begin{align}
 \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) 
& {}= \nabla      (\nabla \cdot  \mathbf{f} ) 
 - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f}  \\
& {}= \mbox{grad }(\mbox{div }   \mathbf{f} )
 - \nabla^2     \mathbf{f}.
\end{align}

حيث \Delta  هي مؤثر لابلاس.

إنظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ Joseph Louis Lagrange did not develop the cross product as an algebraic product on vectors, but did use an equivalent form of it in components: see Lagrange, J-L (1773). "Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires". Oeuvres. vol 3.  He may have written a formula similar to the triple product expansion in component form. See also Lagrange's identity and Kiyoshi Itō (1987). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. صفحة 1679. ISBN 0-262-59020-4. 
  2. ^ Kiyoshi Itō (1993). "§C: Vector product". Encyclopedic dictionary of mathematics (الطبعة 2nd). MIT Press. صفحة 1679. ISBN 0-262-59020-4. 
  3. ^ Pengzhi Lin (2008). Numerical Modelling of Water Waves: An Introduction to Engineers and Scientists. Routledge. صفحة 13. ISBN 0-415-41578-0. 

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.