جداء ثلاثي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، جداء ثلاثي (بالإنجليزية: Triple product) هو حاصل ضرب ثلاثة متجهات. وتكون نتيجته إما "جداء ثلاثيا غير متجه" أو "جداء ثلاثيا متجها" وهذا الأخير يحدث نادرا في الفيزياء.

جداء ثلاثي غير متجه[عدل]

ثلاثة متجهات تحدد متوازي السطوح .

يعرّف الجداء الثلاثي غير المتجه بأنه حاصل ضرب جداء قياسي لأحد المتجهات في جداء اتجاهي.

التفسير الهندسي[عدل]

التفسير الهندسي للجداء الثلاثي غير متجه

هو حجم متوازي السطوح الممثل بثلاثة متجهات .

خواصه[عدل]

  • لا يتأثر الجداء الثلاثي غير المتجة بالإزاحة الدورانية ويتكون من ثلاثة متجهات (a, b, c):

ترميزات مستخدمة أخرى[عدل]

تستخدم بعض الرميزات الأخرى للتعبير عن الضرب الثلاثي غير المتجه مثل : .

وكذلك : و .

شرح الخواص[عدل]

عملية الضرب الثلاثي غير المتجه ليست عملية تبديلية. ولكن قيمته لا تتغير إذا بادلنا المعاملات تبديلا دورانيا:

.
  • ويمكن حساب الجداء الثلاثي بواسطة المحددات ، فمثلا ينطبق علي المعادلة :

ينطبق عليها أن يكون :

ويمكن إثبات ذلك بإجراء الحساب:

.

أي باختيار أقواسا مناسبة يمكن تبديل العلامات الحسابية.

  • وبعكس التبادل الدوراني ينتج عند إجراء تبادل دوراني مضاد تغيير للإشارة :
  • كما أنه نظرا إلى أن يكون :
  • والضرب في كمية غير متجهة تنتج :

وهي عملية تسمى عملية تجميعية.

جداء ثلاثي متجه[عدل]

يعرف الجداء الثلاثي المتجه بإنه ضرب اتجاهي لمتجه مضروبا في ضرب اتجاهي آخر. وتنطبق عليه القاعدة التالية:

 .

تعرف المعادلة الأولى بأنها " معادلة لاجرانج" أو "الضرب الثلاثي الممتد" [1][2]

ويمكن تذكر الجزء الأيمن من المعادلة بالترميز "BAC - CAB" مع تذكر أي متجهات تكون فيها عملية الضرب قياسية (علامة الضرب "النقطية") .

ولإثبات ذلك نبدأ بالمعادلات التي تسهل حسابات المتجهات في الفيزياء . ومن ضمنها معادلات التدرج - مثل تدرج مجال مغناطيسي أو تدرج درجات الحرارة وهي تدرجات تنتسب إلى تغير المكان - وتسهل حسابات المتجهات : [3]

حيث هي مؤثر لابلاس.

إنظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ جوزيف لوي لاغرانج did not develop the cross product as an algebraic product on vectors, but did use an equivalent form of it in components: see Lagrange, J-L (1773). Oeuvres.  He may have written a formula similar to the triple product expansion in component form. See also Lagrange's identity and Kiyoshi Itō (1987). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. صفحة 1679. ISBN 0-262-59020-4. 
  2. ^ Kiyoshi Itō (1993). Encyclopedic dictionary of mathematics (الطبعة 2nd). MIT Press. صفحة 1679. ISBN 0-262-59020-4. 
  3. ^ Pengzhi Lin (2008). Numerical Modelling of Water Waves: An Introduction to Engineers and Scientists. Routledge. صفحة 13. ISBN 0-415-41578-0. 

وصلات خارجية[عدل]