يرجى مراجعة هذه المقالة وإزالة وسم المقالات غير المراجعة، ووسمها بوسوم الصيانة المناسبة.

ضرب المصفوفات

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
N write.svg
هذه مقالة جديدة غير مراجعة. ينبغي أن يزال هذا القالب بعد أن يراجعها محرر ما عدا الذي أنشأها؛ إذا لزم الأمر فيجب أن توسم المقالة بقوالب الصيانة المناسبة. (أكتوبر 2009)

في الرياضيات، يشير ضرب المصفوفات (بالإنجليزية: Matrix multiplication) إلى عملية ضرب مصفوفة ما بعدد أو بمصفوفة أخرى.

ضرب المصفوفات العادي[عدل]

عملية الضرب العادية المذكورة هنا هي الأكثر شيوعًا لدى استخدام المصفوفات وأكثرها أهميّة. عملية الضرب هذه تكون معرّفة بين المصفوفتين A وB فقط إذا كان عدد أعمدة الأولى مساويًا لعدد الأسطر في الثانية. أي أنّ العملية معرّفة إذا كانت A من درجة m \times n، وB من درجة n \times p، وتكون مصفوفة حاصل الضرب C = A \cdot B من درجة m \times p. ووفق نفس المنطق، فإذا تمّ ضرب سلسلة من المصفوفات ذات درجات n_{1} \times n_{2}، n_{2} \times n_{3} وn_{k-1} \times n_{k}، فإنّ مصفوفة حاصل الضرب ستكون من درجة n_{1} \times n_{k}. من هنا، فإنّ ضرب المصفوفات ليست عملية تبديلية على الأطلاق، إذ قد لا يكون الضرب معرفًا أصلاً إذا ما استبدلت المصفوفتان.

في العملية C_{m \times q} = A_{m \times n} \cdot B_{n \times q} يتم حساب كل عنصر في مصفوفة حاصل الضرب، بالطريقة الآتية:

c_{i,j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i,k} \cdot b_{k,j}.

أي أنّه لحساب العنصر الواقع في السطر i والعمود j من مصفوفة حاصل الضرب ، يجب حساب الجداء الداخلي للمتجهين المكوّنين من السطر i من المصفوفة الأولى والعمود j من المصفوفة الثانية. ويوضح الرسم التالي تلك العملية :


  \overbrace{\begin{bmatrix}
     \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
     \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
     \color{Blue} a_{3,1} & \color{Blue} a_{3,2} & \color{Blue} a_{3,3} & \color{Blue} a_{3,4} \\
  \end{bmatrix}}^{A_{3\times 4}}
  \overbrace{\begin{bmatrix}
    \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red} b_{1,4} & \cdot \\
    \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red} b_{2,4} & \cdot \\
    \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red} b_{3,4} & \cdot \\
    \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red} b_{4,4} & \cdot \\
  \end{bmatrix}}^{B_{4\times 5}}
=
\overbrace{\begin{bmatrix}
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdot & c_{3,4} & \cdot \\
\end{bmatrix}}^{C_{3\times 5}}

إذ يتحقّق:

c_{{\color{Blue} 3} , \color{Red} 4} = {\color{Blue} a_{3,1}} \cdot {\color{Red} b_{1,4}} + {\color{Blue} a_{3,2}} \cdot {\color{Red} b_{2,4}} + {\color{Blue} a_{3,3}} \cdot {\color{Red} b_{3,4}} + {\color{Blue} a_{3,4}} \cdot {\color{Red} b_{4,4}}

خواص الضرب العادي[عدل]

  • ليست عملية ضرب المصفوفات عملية تبديلية عمومًا، وإن كانت العملية التبديلية معرّفة. أي:
\mathbf{AB} \ne \mathbf{BA}.
  • أحد الاستثنائات بالنسبة للخاصة السابقة هي كون المصفوفتين قطريتين، إذ عندها تكون عملية الضرب تبديلية.
\mbox{det} \left(\mathbf{AB}\right) = \mbox{det} \left(\mathbf{BA} \right)
أي أنّ عمليّة حساب محدّد حاصل الضرب هي عملية تبديلية.
\left(\mathbf{AB}\right) \mathbf{C} = \mathbf{A} \left(\mathbf{BC} \right).
\mathbf{A} \left (\mathbf{B} + \mathbf{C} \right) = \mathbf{AB} + \mathbf{AC}،
\left (\mathbf{A} + \mathbf{B} \right) \mathbf{C} = \mathbf{AC} + \mathbf{BC}
c \left(\mathbf{AB}\right) = \left(c\mathbf{A}\right) \mathbf{B} = \left(\mathbf{A}c\right) \mathbf{B} = \mathbf{A} \left(c \mathbf{B} \right) = \mathbf{A} \left(\mathbf{B} c\right) = \left(\mathbf{AB} \right) c.

أشكال أخرى من ضرب المصفوفات[عدل]

ضرب هادامار[عدل]

ضرب فروبينيوس[عدل]

ضرب كرونكر[عدل]

أنظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]