ضرب المصفوفات

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في الرياضيات، ضرب المصفوفات (بالإنجليزية: Matrix multiplication)‏ هي عملية ثنائية تأخذ مصفوفتين اثنتين مدخلا لها وتعطي مصفوفة ثالثة.[1] عناصر هذين المصفوفتين ينتمين إلى حقل، أو بصفة عامة إلى حلقة أو حتى إلى نصف حلقة.

ضرب مصفوفة في عدد حقيقي[عدل]

ضرب مصفوفة في عدد ما لا يدخل في إطار ضرب المصفوفات. ضرب مصفوفة في عدد ما يعطي مصفوفة لها نفس أبعاد المصفوفة الأصلية حيث مداخلها تساوي مداخل المصفوفة الأصلية مضروبة في ذلك العدد. على سبيل المثال،

ضرب المصفوفات العادي[عدل]

عملية الضرب العادية المذكورة هنا هي الأكثر شيوعًا لدى استخدام المصفوفات وأكثرها أهميّة. عملية الضرب هذه تكون معرّفة بين المصفوفتين و فقط إذا كان عدد أعمدة الأولى مساويًا لعدد الأسطر في الثانية. أي أنّ العملية معرّفة إذا كانت من درجة ، و من درجة ، وتكون مصفوفة حاصل الضرب من درجة . ووفق نفس المنطق، فإذا تمّ ضرب سلسلة من المصفوفات ذات درجات ، و، فإنّ مصفوفة حاصل الضرب ستكون من درجة . من هنا، فإنّ ضرب المصفوفات ليست عملية تبديلية على الأطلاق، إذ قد لا يكون الضرب معرفًا أصلاً إذا ما استبدلت المصفوفتان.

في العملية يتم حساب كل عنصر في مصفوفة حاصل الضرب، بالطريقة الآتية:

.

أي أنّه لحساب العنصر الواقع في السطر i والعمود j من مصفوفة حاصل الضرب، يجب حساب الجداء الداخلي للمتجهين المكوّنين من السطر i من المصفوفة الأولى والعمود j من المصفوفة الثانية. ويوضح الرسم التالي تلك العملية :

إذ يتحقّق:

خواص الضرب العادي[عدل]

  • عملية ضرب المصفوفات ليست عمليةً تبديليةً عمومًا، وإن كانت العملية التبديلية معرّفة. أي:
.
  • أحد الاستثنائات بالنسبة للخاصة السابقة هي كون المصفوفتين قطريتين، إذ عندها تكون عملية الضرب تبديلية.
  • إذا كانت المصفوفتان A وB مربّعتين، يتحقّق:
أي أنّ عمليّة حساب محدّد حاصل الضرب هي عملية تبديلية.
.
،
.

أشكال أخرى من ضرب المصفوفات[عدل]

الضرب بطريقة فالك[عدل]

مثال على طريقة فالك في ضرب المصفوفات يوضحه ضرب المصفوفتين A و B.

و .

لحساب حاصل ضرب المصفوفتين ، حيث أن للمفصوفة الناتجة الأبعاد: .

في البداية تتم كتابة المصفوفات بترتيب المصفوفتين التان سيتم ضربهما وفق تصميم فالك. يتم بعدها ضرب عناصر كل صف من المصفوفة السفلية بعناصر كل عمود من المصفوفة الثانية وجميع النتيجة في المصفوفة البينية، الزهرية اللون.

العمود j

1

2

−1

1

الصف i

1

−2

1

1

4

2

2

5

3

3

−6

العمود j

1

2

−1

1

الصف i

1

−2

1

1

4

3

2

2

5

3

3

−6


العمود j

1

2

−1

1

الصف i

1

−2

1

1

4

3

−7

2

2

5

3

3

−6


العمود j

1

2

−1

1

الصف i

1

−2

1

1

4

3

−7

2

2

5

3

−8

3

3

−6

−9

15

ضرب هادامار[عدل]

لمصفوفتين و التي لهما أبعاد ،[2] ضرب هادامار أو [3][4][5][6] مصفوفة بنفس الأبعاد (أي ) يتم حساب قيمها على النحو التالي:

لم يتم تعريف هذا الضرب للمصفوفات ذات الأبعاد المختلفة.[6]

ضرب فروبينيوس[عدل]

ضرب كرونكر[عدل]

وصلات داخلية[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ "معلومات عن ضرب المصفوفات على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 5 ديسمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ Million, Elizabeth (April 12, 2007). "The Hadamard Product" (PDF). buzzard.ups.edu. مؤرشف من الأصل (PDF) في 28 نوفمبر 2020. اطلع عليه بتاريخ September 6, 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  3. ^ "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (باللغة الإنجليزية). 2020-03-25. مؤرشف من الأصل في 28 نوفمبر 2020. اطلع عليه بتاريخ 06 سبتمبر 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  4. ^ "Hadamard product - Machine Learning Glossary". machinelearning.wtf. مؤرشف من الأصل في 28 نوفمبر 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  5. ^ "linear algebra - What does a dot in a circle mean?". Mathematics Stack Exchange. مؤرشف من الأصل في 28 نوفمبر 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  6. أ ب "Element-wise (or pointwise) operations notation?". Mathematics Stack Exchange. مؤرشف من الأصل في 28 نوفمبر 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

وصلات خارجية[عدل]