قوانين دي مورجان

تستخدم قوانين أوغست دو مورغان في قواعد المنطق في وصف نتيجة عكس عمليتي الضرب المنطقي(و) and و الجمع المنطقي(أو) or

NOT (P OR Q) = (NOT P) AND (NOT Q)

NOT (P AND Q) = (NOT P) OR (NOT Q)

و عن طريق الإشارات

$\neg(p\vee q)\iff(\neg p)\wedge(\neg q)$

$\neg(p\wedge q)\iff(\neg p)\vee(\neg q)$

حيث أن:

• $\neg$ علامة تعبر عن النفي المنطقي(لا)(NOT)
• $\wedge$ علامة تعبر عن الضرب المنطقي (و)(AND)
• $\vee$ علامة تعبر عن الجمع المنطقي(أو)(OR)
• $\iff$ علامة تعني متساويان منطقيا (إذا و فقط إذا)

وفي قوانيين الجبر البولييني

The intersection of A and B

الإتحاد و التقاطع يتبدلان تحت النفي.

$\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}$

$\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}.$

حيث أن:

• $\overline A$ هي عكس A
• $\cap$ تعبير يدل علي التقاطع(AND)
• $\cup$ تعبير يدل علي الإتحاد(OR)

الإثبات الرياضي لنظرية دي مورجان

$\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}$ إذا وفقط إذا $\overline{A \cap B}\subseteq\overline{A} \cup \overline{B}$ و $\overline{A \cap B}\supseteq\overline{A} \cup \overline{B}$.

$x \in \overline{A \cap B}$

$x \notin {A \cap B}$

$x \notin A$ أو $x \notin B$

$x \in \overline A$ أو $x \in \overline B$

$x \in \overline A \cup \overline B$

لذلك $\overline{A \cap B}\subseteq\overline{A} \cup \overline{B}$

$x \in \overline A \cup \overline B$

$x \in \overline A$ أو $x \in \overline B$

$x \notin A$ أو $x \notin B$

$x \notin {A \cap B}$

$x \in \overline{A \cap B}$

لذلك $\overline{A \cap B}\subseteq\overline{A} \cup \overline{B}$

$\overline{A \cap B}\subseteq\overline{A} \cup \overline{B}$ و $\overline{A \cap B}\supseteq\overline{A} \cup \overline{B}$لذلك $\overline{A \cap B}= \overline{A} \cup \overline{B}$

$\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}$ يمكن إثباتها بنفس الطريقة.