مجموعة (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
تقاطع مجموعتين يتكون من العناصر التي تنتمي إلى كلتي المجموعتين, كما يبين ذلك مخطط فيين.

المجموعة هي مفهوم أساسي في جميع فروع الرياضيات، ويعتبر مفهوم المجموعة من المفاهيم الأولية التي لا تُعرَّف. لكنه يمكن تصور المجموعة على أنها طائفة من الأشياء الموضوعة سوياً، وتسمى هذه الأشياء عناصر المجموعة، وعادة ما تكتب المجموعة باستخدام معقوفتين { } توضع بينهما عناصر المجموعة، فمثلا :

\{a, b, c\} هي مجموعة عناصرها : a، b، c.

كما تستخدم في وصف المجموعات أيضاَ الصورة \{ x | Px \} حيث  Px هي خاصية أو عبارة رياضية تميز عناصر المجموعة.

وقد انشغل علماء الرياضيات في أواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين ببناء منظومة منطقية متكاملة لوصف المجموعات، وهو ما أصبح علما من علوم الرياضيات يسمى نظرية المجموعات. ومن أشهر العلماء الذين اشتغلوا بهذه النظرية جورج كانتور (1845-1918) وبرتراند راسل (1872-1970) و ألفريد نورث وايتهاد (1861-1947) وإرنست زيرميلو (1871-1953) وأبراهام فرانكل (1891-1965) وجون فون نيومان (1903-1957) وكورت غودل (1906-1978) وبول كوهين (1934 -).

المجموعة في الرياضيات هي من أهم أسس ومواضيع الرياضيات التجريدية. إذا أُريدَ تعريف مبدئي يمكن القول أن كل وحدة تضم أشياء أو عناصر من العالم المادي أو غير المادي، الواقعي أو الخيالي تسمى مجموعة.

يمكن للمجموعة أن تكون خالية ولكن لا يمكن لها أن تحتوي على نفس العنصر أكثر من مرة.

وصف المجموعة[عدل]

يمكن وصف المجموعة عن طريق كتابة عناصرها إذا كان عددهم قليلا نسبيا. مثلا:

{بن بلا، بومدين، بن جديد}. وكذلك تساوي {بن جديد، بن بلا، بومدين} لأن الترتيب ليس مهما.

{الجزائر، المغرب، تونس، موريتانيا، ليبيا، مصر، السودان، اليمن،عمان، الصومال، جزر القمر، السعودية، الكويت، قطر، البحرين، الإمارات العربية المتحدة، الأردن، فلسطين، لبنان، سوريا، العراق، جيبوتي}.

و لكن هذه الطريقة للوصف تعتبر غير مناسبة غالباً خاصة عندما يصبح عدد العناصر كبيراً جداً، بالإضافة إلى أنها غير ممكنة على الإطلاق إذا كان عدد العناصر لا نهائيا. لذا يتم اللجوء في هذه الحالات إلى طريقة أكثر أناقة وذلك بوصف المجموعة عن طريق إعطاء العلاقة التي تربط أعضائها. مثلا مجموعة الأعداد الفردية: {أ| يوجد ب، أ = 2 * ب + 1}

نتائج مباشرة[عدل]

تعريف المجموعة يقود إلى عدد من النتائج المباشرة:

  1. لا توجد مجموعتان مختلفتان تضمان نفس العناصر.
  2. يوجد مجموعات تضم مجموعات كعناصر.
  3. المجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من كل مجموعة.

المجموعة الجزئية[عدل]

إذا كان كل عنصر في المجموعة A عنصرا في المجموعة B تسمى عندها المجموعة A مجموعة جزئية من B. إذا كانت A مجموعة جزئية من B وB مجموعة جزئية من A، عندها يكون A=B.

A \cap B
   
A \cup B
   
A \setminus B

تعريف[عدل]

كيف توصف المجموعة[عدل]

تطبيقات[عدل]

انظرأيضا[عدل]

مراجع[عدل]

انظر أيضا[عدل]

خواص العلاقات على المجموعة