من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

[عدل] عناصر المنطق

[عدل] جملة

الجملة في مجموعة حروف و رموز لها معنى, مثال:

2+3=5
5*9=45

من الممكن دراسة هذه العبارات من وجهات نظر مختلفة, مثلا المتغيرات تأخد قيما متعددة نرمز لها عادة بـ" X "، أو " س " بالعربية. كما يمكن دراسة صحة أو خطأ العبارة.

[عدل] عبارة

تصبح إذا أمكن معرفة صحة أو خطأ العبارة نسمي عبارة كل نص رياضي له معنى و يكون إما صحيحاو إما خاطئا أما الدالة العبرية ( خاصية لمتغير) فهي كل نص رياضي له معنى و يحتوي على متغير و يصبح عبارة كلما عوضنا المتغير بقيمة معينة

جًمل منطقية [الجمل الفعلية مفيدة] يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ وليس كليهما القضية المنطقية { تعريف} هي جملة خبرية مفيدة يحتمل معناها الصواب أو الخطأ وليس كليهما من أمثلة الجمل التي تكون قضايا 1) 2+3=7 2) صنعاء عاصمة اليمن 3) مجموع زوايا المثلث 180 ْ ملاحظة : ليس من الضروري أن تكون الجملة صحيحة جًمل ليست منطقية [الجمل الإسمية] والتي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ من أمثلة الجمل التي لا تكون قضايا الجمل التي تيدأ أستفهام – سؤال – تعجب – نداء – طلب ... بصورة عامة كل الجمل التي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ مثل : 1) ما أجمل السماء ! 2) كم الساعة ؟

[عدل] النفي

نفي العبارة P هي عبارة صحيحة إذا كانت P خاطئة, و خاطئة إذا كانت P صحيحة. و نرمز لنفي P ب $\neg P$ .

جدول الحقيقة
P	$\neg P$
0	1
1	0

[عدل] العطف

عطف العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت العبارتين معا صحيحتين. ونرمز له ب $P \wedge Q$

جدول الحقيقة
P	Q	$P \wedge Q$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

[عدل] الفصل

فصل العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت إحدى العبارتين صحيحة. ونرمز له ب $P \vee Q$

جدول الحقيقة
P	Q	$P \vee Q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

[عدل] الاستلزام

تكون العبارة P تستلزم Q ، خاطئة فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة.

و نرمز لها ب: $Q \Leftarrow P$ و هي تكافئ العبارة: $\neg P \vee Q$ .

جدول الحقيقة
P	Q	$Q \Leftarrow P$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

[عدل] التكافؤ

تكافؤ العبارتين $P\,$ و $Q\,$ هو $(Q \Leftarrow P) \wedge (P \Leftarrow Q)$ , و نرمز له ب: $Q \Leftrightarrow P$

جدول الحقيقة
P	Q	$Q \Leftrightarrow P$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

[عدل] القوانين المنطقية

القوانين المنطقية عبارة عن جمل مكونة من عدة عبارات مرتبطة فيما بينها بروابط منطقية و تكون دائما صحيحة بغض النظر عن صحة أو خطأ العبارات المكونة لها.

أمثلة:

$\neg (\neg P) \Leftrightarrow P$
$(P \wedge Q) \Leftrightarrow (Q \wedge P)$
$\neg (P \wedge Q) \Leftrightarrow (\neg P) \vee (\neg Q)$
$\neg (P \vee Q) \Leftrightarrow (\neg P) \wedge (\neg Q)$

المثالين الأخيرين, يعرفان بقوانين ديمورجان [De Morgan's laws].

[عدل] دوال العبارة

الدالة العبارة, هي تطبيق من مجموعة قيم المتغيرات نحو مجموعة مكونة من العنصرين صحيح و خطأ.

مثال:

بالنسبة للعبارة: "x عدد صحيح طبيعي, x+3=10." نحصل على دالة من $\mathbb{N}\$ إلى $\{0,1\}\,$ بحيث:

$\begin{matrix} \mathbb{N}\ \rightarrow \{0,1\} \\ 0 \mapsto 0 \\ 7 \mapsto 1 \end{matrix}$

[عدل] الكموميات

هناك نوعان وجودية و كونية.

الوجودية تعني وجود عناصر تحقق عبارة ما, مثل يوجد x من $\mathbb{N}\$ بحيث: $x^2-1=0 \,$

نرمز للوجودية بالرمز $\exists$ .

الكونية تعني أن عبارة ما تكون دائما صحيحة مهما تغيرت قيمة المتغير, مثل كيما كانت قيمة x من $\mathbb{R}\$ لدينا $(x+1)^2=x^2+2x+21 \,$

نرمز للكونية بالرمز $\forall$ .

[عدل] الكموميات و الروابط المنطقية

عندما يكون هناك وجوديات, النفي يعبر عنه ب:

$\neg [(\forall x \in\ E) A(x)] \Leftrightarrow [(\exists x \in\ E) \neg A(x)]$

$\neg [(\exists x \in\ E) A(x)] \Leftrightarrow [(\forall x \in\ E) \neg A(x)]$

مع E مجموعة تتضمن الخاصية A.

[عدل] تطبيق على نظرية المجموعات

هناك علاقة بين نظرية المجموعات و المنطق.

[عدل] الاستلزام و التضمن

نسمي جزء A(أو مجموعة صغرى) لمجموعة E كل عناصر المجموعة A التي تنتمي إلى E.

و نكتب:

$A \subset E$

نقول أن المجموعة A ضمن المجموعة E, يكافئ أن كل عنصر x من A, يستلزم أن xينتمي إلى E. ==مجموعة الأجزاء== ويكتب المنطق ب7888

[عدل] مجموعة الأجزاء

كل مجموعة لها عدة أجزاء, و هذه الأجزاء تكون مجموعة الأجزاء.

[عدل] التساوي و التكافؤ

المجموعة A تساوي المجموعة B, تكافئ لكل x من x :E من A يكافئ x من B.

[عدل] المتمم و النفي

متمم الجزء A, هو الجزء B الذي عناصره لا تنتمي إلى A.

علق حاتم على هذه فقال :

المتممة أمر نسبي

قبل أن نتكلم عن متممة مجموعة نحتاج إلى أن نتفق على ما يسمى " المجموعة الشاملة "

مثال

إذا كانت

المجموعة الشاملة = ش

ش = { 1 ،9 ، 5 ، 3 ، 2 }

أ = { 1 ، 9 }

متمم أ هو ب

ب = { 5 ، 3 ، 7 }

لا حظ عناصر ب لا تنتمي إلى أ

x ينتمي إلى A, يكافئ x لا ينتمي إلى B.

[عدل] التقاطع و العطف

تقاطع المجموعتين A و B, هي مجموعة العناصر المشتركة C, التي نرمز لها ب: $A \cap B\,$ .

x من C يكافئ: x من A و x من B.

[عدل] الاتحاد و الفصل

اتحاد المجموعتين A و B, هي المجموعة C التي عناصرها تنتمي إلى أحد المجموعتين, و التي نرمز لها ب: $A \cup B$ .

x من C يكافئ: x من A أو x من B. =خاصيات عطف التقاطع و الاتحاد في مجموعة الأجزاء=

[عدل] الفرق

ِA-B هي المجموعة التي تحوي كل العناصر التي تنتمي لـ A ولا تنتمي لـ B $A-B = \{a: (a\in\ A) \wedge (a\notin\ B)\}$

[عدل] الفرق المتماثل

[عدل] تطبيق في البرهنة الرياضية

برهنة: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

لكي نبرهن تساوي بين مجموعتين A و B يجب أن نبرهن لكل عنصر x:

x ينتمي لـ A إذا وفقط إذا x ينتمي لـ B في هذه الحالة علينا أن نبرهن:

$x \in (A \cap (B \cup C)) \Leftrightarrow x \in ((A \cap B) \cup (A\cap C))$

برهان:

$x \in( A \cap (B \cup C)) \overset{1}{\Leftrightarrow}$

$(x \in A) \and (x \in (B \cup C)) \overset{2}{\Leftrightarrow}$

$(x \in A) \and ((x \in B) \or (x \in C)) \overset{3}{\Leftrightarrow}$

$((x \in A) \and (x \in B)) \or ((x \in A) \and (x \in C)) \overset{4}{\Leftrightarrow}$

$(x \in (A \cap B)) \or (x \in (A \cap C)) \overset{5}{\Leftrightarrow}$

$x \in ((A \cap B) \cup (A\cap C))$

شرح الخطوات:

1و4- حسب تعريف التقاطع $x \in (A \cap B) \Leftrightarrow (x \in A) \and (x \in B)$

2و5- حسب تعريف الإتحاد $x \in (A \cup B) \Leftrightarrow (x \in A) \or (x \in B)$

3-

نبرهن: $(x \in A) \and ((x \in B)\or (x \in C)) = ((x \in A)\and (x \in B)) \or ((x \in A) \and (x \in C))$

بواسطة جداول الحقيقة التابعة لـ $\and$ و $\or$

جدول الحقيقة لـ $(x \in A)\and ((x \in B)\or (x \in C))$
$(x \in A)$	$(x \in B)$	$(x \in C)$	$(x \in B)\or (x \in C)$	$(x \in A)\and ((x \in B)\or (x \in C))$
0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
0	1	0	1	0
1	1	0	1	1
0	0	1	1	0
1	0	1	1	1
0	1	1	1	0
1	1	1	1	1

جدول الحقيقة لـ $((x \in A)\and (x \in B)) \or ((x \in A) \and (x \in C))$
$(x \in A)$	$(x \in B)$	$(x \in C)$	$(x \in A)\and (x \in B)$	$(x \in A)\and (x \in C)$	$((x \in A)\and (x \in B)) \or ((x \in A) \and (x \in C))$
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0
1	1	0	1	0	1
0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	1	1
0	1	1	0	0	0
1	1	1	1	1	1

الجدولان متساويان لذلك العبارتان متكافئتان

[عدل] المنطق الرياضي والدوائر الكهربية

بمكن تحويل كل جمل المنطق الرياضي إلى دوائر كهربية تستخدم في الحاسب الآلي لإجراء العمليات الحسابية والمنطقية ويمكن الاطلاع على تفاصيل ذلك هنا لمزيد من المعلومات

[عدل] المنطق الرياضي والبرمجة

يفيد فهم المنطق الرياضي في إجراء عمليات البرمجة المعقدة والتي تحوي الجمل الشرطية المتداخلة اللازمة لتحقيق هدف معين أو حل مشكلة محددة بواسطة البرنامج.

[عدل] انظر ايضا

بوابة منطقية

منطق رياضي