منطق رياضي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

المنطق هو العلم الذي يبحث في القواعد التي تتبع في التفكير وطرق الاستدلال الصحيح. وهو بذلك أداة للتفكير لأنه يعنى بتحليل طرق التفكير و صيانته من الخطأ. والعملية المنطقية تهتم بفئة من الصيغ أو القضايا.

القضية : جملة تقوم على علاقة بين عدد من الكلمات المفهومة، وتنقسم إلى قسمين :

  1. القضية الإخبارية : وهي تخبر عن شيء ما وتحتمل الصدق أو الكذب مثل (المثلثات المتطابقة متكافئة)، (كل ما في الكون يجذب بعضه بعضا).
  2. القضية الإنشائية : وهي التي لا يمكن أن توصف بالصدق أو الكذب مثل لا تمش في الأرض مرحا وهي ليست قضايا منطقية.

والقضية المنطقية جملة خبرية تحتمل الصدق أو الكذب ويمكن التحقق منها فالجملة المعادن تتمدد بالحرارة جملة خبرية يمكن التحقق من صحتها بإجراء التجارب وإقرار صحة العبارة من عدمه. والقضية مفهوم أساسي في المنطق نتعلم تصنيفها كما ورد سابقا عن طريق الخبرة مثل :

  1. ابن تيمية صاحب كتاب رفع الملام عن الأئمة الأعلام (خبرية)
  2. ينزل المطر في الخريف (خبرية)
  3. لا تنه عن خلق وتأتي بمثله (إنشائية)
  4. كيف حالك (إنشائية)

وما دمنا سنتحدث كثيرا عن الصدق والخطأ سنرمز لهما بالحرفين (ص) (خ). ومن ذلك كله نقول أن القضية المنطقية تحتمل الصدق أو الكذب.

القضايا المركبة

تسمي كل من الحروف الآتية بأدوات الربط : (و) == Λ ، (أو) = Ѵ ، (لا النافية) == ̴ ويمكن ان نوضح ونبين قضايا جديدة من فئة معطاة من القضايا بواسطة أدوات الربط فمثلا إذا كانت القضية (محمد طالب مجتهد) يرمز لها بالرمز تشير إلى أن ليس محمد مجتهدا.(̴A) فإن القضية (A)

تعني محمد مجتهد (A)
تعني محمد طالب خلوق فإن : (B)

قضية تعني : محمد طالب مجتهد ومحمد طالب خلوق. (A Λ B) تعني محمد طالب مجتهد أو محمد طالب خلوق. (AѴB) والقضية وتستعمل (أو) باستعمالين متمايزين : أو الشامله ، أو الطاردة وذلك يتضح من الشكلين الآتيين :

أو الشاملة أو المانعة

إن دراسة الفئات ذات فائدة كبيرة في كافة فروع الرياضيات وسوف نرى الآن تطبيقات هذه الدراسة في البراهين المنطقية وسوف نبدأ بملاحظة مدى فائدة قوانين الفئات وفائدة اشكال فن في تحليل البرهان اوتتبع خطوات مناقشة وانتبع ما يلي : كل مربع مستطيل ..... (1) كل مستطيل متوازي أضلاع.... (2) كل مربع متوازي أضلاع...... (3) الصيغتان 1 ، 2 تسميان مقدمتان أو فروضا والصيغة 3 تسمى نتيجة وهذا مثال بسيط يتضح منه انه إذا كانت النتيجة تتبع بالضرورة المقدمات المعطاه فنقول عندئذٍ إن المناقشة صالحة. وباختصار شديد نقول إن المناقشة 1 ، 2 ، 3 لها القيمة (ص) (أي صادقة) ومثل هذه المناقشة يمكن أن توضح بأشكال فن حيث :

تشير إلى فئة كل المربعات  A 

تشير إلى فئة كل المستطيلات B تشير إلى فئة كل متوازيات الأضلاع C

A وهي مجموعة جزئية من B مجموعة جزئية من C وكثيرا ما نصادف مناقشة صالحة وتكون النتيجة غير صالحة مثل :

  • حلب في محافظة الجيزة
  • محافظة الجيزة في مصر
  • إذن حلب في مصر

هذه المناقشة صالحة ولكن النتيجة غير صادقة كون الفرض الأول غير صحيح. وقد تكون الفرضيتان غير صحيحتين والنتيجة صادقة مثل : 1 = 7 غير صحيح 9 = 3 غير صحيح وبجمع المعادلتين يكن الناتج 10 = 10 وهي نتيجة صحيحة. وفي الرياضيات نستخدم هذا النوع من المناقشات للوصول إلى صحة بعض النظريات، خذ مثلا طريقة إثبات أن المماس للدائرة يكون عموديا على نصف القطر المار بنقطة التماس ، فنحن نبدأ البرهان بفرض أن المماس ليس عموديا على نصف القطر وبالسير بالمناقشة الصحيحة نأتي إلى أن المماس يقطع الدائرة في نقطتين وبما أن النتيجة تتعارض مع تعريف المماس ، ينتج أن الفرض الأساسي ليس صحيحا ويكون المماس عموديا على نصف القطر المار بنقطة التماس.

عناصر المنطق[عدل]

جملة[عدل]

الجملة في مجموعة حروف ورموز لها معنى, مثال:

  • 2+3=5
  • 5*9=45

من الممكن دراسة هذه العبارات من وجهات نظر مختلفة, مثلا المتغيرات تأخد قيما متعددة نرمز لها عادة بـ" X "، أو " س " بالعربية. كما يمكن دراسة صحة أو خطأ العبارة.

عبارة[عدل]

تصبح إذا أمكن معرفة صحة أو خطأ العبارة نسمي عبارة كل نص رياضي له معنى ويكون إما صحيحا وإما خاطئا أما الدالة العبرية (خاصية لمتغير) فهي كل نص رياضي له معنى ويحتوي على متغير ويصبح عبارة كلما عوضنا المتغير بقيمة معينة

جًمل منطقية [الجمل الفعلية مفيدة] يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ وليس كليهما القضية المنطقية { تعريف} هي جملة خبرية مفيدة يحتمل معناها الصواب أو الخطأ وليس كليهما من أمثلة الجمل التي تكون قضايا

  1. 2+3=5
  2. صنعاء عاصمة اليمن
  3. مجموع زوايا المثلث 180 ْ

ليس من الضروري أن تكون الجملة صحيحة جًمل ليست منطقية [الجمل الاسمية] والتي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ من أمثلة الجمل التي لا تكون قضايا الجمل التي تيدأ أستفهام – سؤال – تعجب – نداء – طلب... بصورة عامة كل الجمل التي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ مثل :

  1. ما أجمل السماء !
  2. كم الساعة ؟

النفي[عدل]

نفي العبارة P هي عبارة صحيحة إذا كانت P خاطئة, وخاطئة إذا كانت P صحيحة. ونرمز لنفي P ب \neg P.

جدول الحقيقة
P \neg P
0 1
1 0

العطف[عدل]

عطف العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت العبارتين معا صحيحتين. ونرمز له ب P \wedge Q

جدول الحقيقة
P Q P \wedge Q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

الفصل[عدل]

فصل العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت إحدى العبارتين صحيحة أو كلاهما ونرمز له ب P \vee Q

جدول الحقيقة
P Q P \vee Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

الاستلزام[عدل]

تكون العبارة P تستلزم Q، خاطئة فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة.

و نرمز لها ب: Q \Leftarrow P وهي تكافئ العبارة: \neg P \vee Q.

جدول الحقيقة
P Q Q \Leftarrow P
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

التكافؤ[عدل]

تكافؤ العبارتين P\, وQ\, هو (Q \Leftarrow P) \wedge (P \Leftarrow Q), ونرمز له ب: Q \Leftrightarrow P

جدول الحقيقة
P Q Q \Leftrightarrow P
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

القوانين المنطقية[عدل]

القوانين المنطقية عبارة عن جمل مكونة من عدة عبارات مرتبطة فيما بينها بروابط منطقية وتكون دائما صحيحة بغض النظر عن صحة أو خطأ العبارات المكونة لها.

أمثلة:

  1. \neg (\neg P) \Leftrightarrow P
  2. (P \wedge Q) \Leftrightarrow (Q \wedge P)
  3. \neg (P \wedge Q) \Leftrightarrow (\neg P) \vee (\neg Q)
  4. \neg (P \vee Q) \Leftrightarrow (\neg P) \wedge (\neg Q)

المثالين الأخيرين, يعرفان بقوانين ديمورجان [De Morgan's laws].

دوال العبارة[عدل]

دالة العبارة, هي تطبيق من مجموعة قيم المتغيرات نحو مجموعة مكونة من العنصرين صحيح وخطأ.

مثال:

بالنسبة للعبارة: "x عدد صحيح طبيعي, x+3=10." نحصل على دالة من  \mathbb{N}\ إلى \{0,1\}\, بحيث:

\begin{matrix} \mathbb{N}\ \rightarrow  \{0,1\} \\ 0 \mapsto 0 \\ 7 \mapsto 1  \end{matrix}

المكممات[عدل]

هناك نوعان وجودية وكونية.

  1. الوجودية تعني وجود عناصر تحقق عبارة ما, مثل يوجد x من  \mathbb{N}\ بحيث:  x^2-1=0 \,

نرمز للوجودية بالرمز  \exists .

  1. الكونية تعني أن عبارة ما تكون دائما صحيحة مهما تغيرت قيمة المتغير, مثل مهما كانت قيمة x من  \mathbb{R}\ لدينا  (x+1)^2=x^2+2x+1 \,

نرمز للكونية بالرمز  \forall .

المكممات والروابط المنطقية[عدل]

عندما يكون هناك وجوديات, النفي يعبر عنه ب:

\neg [(\forall x \in\ E) A(x)] \Leftrightarrow [(\exists x \in\ E) \neg A(x)]

\neg [(\exists x \in\ E) A(x)] \Leftrightarrow [(\forall x \in\ E) \neg A(x)]

مع E مجموعة تتضمن الخاصية A.

تطبيق على نظرية المجموعات[عدل]

هناك علاقة بين نظرية المجموعات والمنطق.

الاستلزام والتضمن[عدل]

نسمي جزء A(أو مجموعة صغرى) لمجموعة E كل عناصر المجموعة A التي تنتمي إلى E.

و نكتب:

A \subset E

نقول أن المجموعة A ضمن المجموعة E, يكافئ أن كل عنصر x من A, يستلزم أن xينتمي إلى E. ==مجموعة الأجزاء== ويكتب المنطق ب7888

مجموعة الأجزاء[عدل]

كل مجموعة لها عدة أجزاء, وهذه الأجزاء تكون مجموعة الأجزاء.

التساوي والتكافؤ[عدل]

المجموعة A تساوي المجموعة B, تكافئ لكل x من x :E من A يكافئ x من B.

المتمم والنفي[عدل]

متمم الجزء A, هو الجزء B الذي عناصره لا تنتمي إلى A.

علق حاتم على هذه فقال :

المتممة أمر نسبي

قبل أن نتكلم عن متممة مجموعة نحتاج إلى أن نتفق على ما يسمى " المجموعة الشاملة "

مثال

إذا كانت

المجموعة الشاملة = ش

ش = { 1 ،9، 5، 3، 2 }

أ = { 1، 9 }

متمم أ هو ب

ب = { 5، 3، 2 }

لا حظ عناصر ب لا تنتمي إلى أ

x ينتمي إلى A, يكافئ x لا ينتمي إلى B.

التقاطع والعطف[عدل]

تقاطع المجموعتين A و B, هي مجموعة العناصر المشتركة C, التي نرمز لها ب: A \cap  B\,.

x من C يكافئ: x من A و x من B.

الاتحاد والفصل[عدل]

اتحاد المجموعتين A و B, هي المجموعة C التي عناصرها تنتمي إلى أحد المجموعتين, والتي نرمز لها ب: A \cup  B.

x من C يكافئ: x من A أو x من B. =خاصيات عطف التقاطع والاتحاد في مجموعة الأجزاء=

الفرق[عدل]

ِA-B هي المجموعة التي تحوي كل العناصر التي تنتمي لـ A ولا تنتمي لـ B A-B = \{a:  (a\in\ A) \wedge (a\notin\ B)\}

الفرق المتماثل[عدل]

تطبيق في البرهنة الرياضية[عدل]

برهنة: A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

لكي نبرهن تساوي بين مجموعتين A و B يجب أن نبرهن لكل عنصر x:

x ينتمي لـ A إذا وفقط إذا x ينتمي لـ B في هذه الحالة علينا أن نبرهن:

x \in (A \cap (B \cup C)) \Leftrightarrow x \in ((A \cap B) \cup (A\cap C))

برهان:

x \in(A \cap (B \cup C)) \overset{1}{\Leftrightarrow}

(x \in A) \and (x \in (B \cup C)) \overset{2}{\Leftrightarrow}

(x \in A) \and ((x \in B) \or (x \in C)) \overset{3}{\Leftrightarrow}

((x \in A) \and (x \in B)) \or ((x \in A) \and (x \in C)) \overset{4}{\Leftrightarrow}

(x \in (A \cap B)) \or (x \in (A \cap C)) \overset{5}{\Leftrightarrow}

x \in ((A \cap B) \cup (A\cap C))

شرح الخطوات:

1 و4- حسب تعريف التقاطع x \in (A \cap B) \Leftrightarrow (x \in A) \and (x \in B)

2 و5- حسب تعريف الإتحاد x \in (A \cup B) \Leftrightarrow (x \in A) \or (x \in B)

3-

نبرهن: (x \in A) \and ((x \in B)\or (x \in C)) = ((x \in A)\and (x \in B)) \or ((x \in A) \and (x \in C))

بواسطة جداول الحقيقة التابعة لـ \and و\or

جدول الحقيقة لـ (x \in A)\and ((x \in B)\or (x \in C))
(x \in A) (x \in B) (x \in C) (x \in B)\or (x \in C) (x \in A)\and ((x \in B)\or (x \in C))
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 1 0
1 1 0 1 1
0 0 1 1 0
1 0 1 1 1
0 1 1 1 0
1 1 1 1 1
جدول الحقيقة لـ ((x \in A)\and (x \in B)) \or ((x \in A) \and (x \in C))
(x \in A) (x \in B) (x \in C) (x \in A)\and (x \in B) (x \in A)\and (x \in C) ((x \in A)\and (x \in B)) \or ((x \in A) \and (x \in C))
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1
0 0 1 0 0 0
1 0 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1

الجدولان متساويان لذلك العبارتان متكافئتان

المنطق الرياضي والدوائر الكهربية[عدل]

بمكن تحويل كل جمل المنطق الرياضي إلى دوائر كهربية تستخدم في الحاسب الآلي لإجراء العمليات الحسابية والمنطقية ويمكن الاطلاع على تفاصيل ذلك هنا لمزيد من المعلومات

المنطق الرياضي والبرمجة[عدل]

يفيد فهم المنطق الرياضي في إجراء عمليات البرمجة المعقدة والتي تحوي الجمل الشرطية المتداخلة اللازمة لتحقيق هدف معين أو حل مشكلة محددة بواسطة البرنامج.

انظر أيضا[عدل]

بوابة منطقية