نظرية المجموعات

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

نظرية المجموعات هو فرع من علم المنطق الرياضي التي تهتم بدراسة المجموعات والتي هي تجميع لكائنات رياضية مجردة والعمليات المطبقة عليها، وتشكل إحدى أهم ركائز الرياضيات الحديثة.

كانت بداية الاهتمام بهذا العلم والعمل على دراسته بالقرن التاسع عشر عندما بداه جورج كانتور وريتشارد ديدكايند . وبعد اكتشاف تاقضات عديدة في نظرية المجموعات الاساسية العديد من الانظمة البديهية لتجاوز هذه التناقضات ومن هذه كان نظام زيرملو-فرانكلن مع بديهية الاختيار افضلها على الاطلاق .


تاريخ[عدل]

المصطلحات الاساسية[عدل]

علاقة التابعية[عدل]

احد اهم المصطلحات الاساسية في نظرية المجموعات هو التابعية , نقول أن الشيء o تابع للمجموعة A ونرمز لذلك ب-o\in A اذا كان احد اعضاء المجموعة A . وهذا المصطلح هو علاقة ثنائية وقد تكون بين المجموعات كذلك .

علاقة الجزئية[عدل]

علاقة ثنائية اخرى بين المجموعات هي علاقة المجموعة الجزئية وهي مشتقة من علاقة التابعية : نقول أن  A هي مجموعة جزئية للمجموعة  B اذا كل عضو a\in A تابع ايضا للمجموعة B اي : a\in B . نرمز لهذه العلاقة بالشكل التالي : A\subseteq B . اذا تحقق ايضا أنَّ A\ne B حينها نقول ان المجموعة A مجموعة جزئية فعلية للمجموعة B . ونرمز لذلك بالشكل التالي : A\subset B .

علاقة الاتحاد[عدل]

دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى اتحاد المجموعتين A \cup B.

عملية اتحاد مجموعتين A و B يرمز لها بـ A \cup B ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي لأي واحدة من المجموعتين A أو B. أي أن عنصر x ينتمي إلى A \cup B إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A أو x ينتمي إلى B

بالرموز: x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \or x \in B

  • مثال لإتحاد مجموعتين منتهيتين: A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} \Rightarrow A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\}
  • مثال لإتحاد مجموعة منتهية ومجموعة غير منتهية: A=\mathbb{N}, B=\{-3,-7,5\} \Rightarrow A \cup B=\{-3,-7,0,1,2,3,...\}
  • مثال لإتحاد مجموعتين غير منتهيتين: A=\mathbb{N}, B=\{0,-1,-2,-3,...\} \Rightarrow A \cup B=\mathbb{Z}
  • مثال مع المجموعة الخالية: A=\{x,y\}, B=\emptyset \Rightarrow A \cup B= \{x,y\}

علاقة التقاطع[عدل]

دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى تقاطع المجموعتين A \cap B.

عملية تقاطع مجموعتين A و B يرمز لها بـ A \cap B ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر المشتركة بين A و B. أي أن عنصر x ينتمي إلى A \cap B إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x ينتمي إلى B.

بالرموز: x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \and x \in B

  • مثال لتقاطع مجموعتين منتهيتين: A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} \Rightarrow A \cap B=\{3,4\}
  • مثال لتقاطع مجموع منتهية ومجموعة غير منتهية: A=\mathbb{N}, B=\{-3,1,17\} \Rightarrow A \cap B=\{1,17\}
  • مثال لتقاطع مجموعتين غير منتهيتين: A=\mathbb{Z}, B=\mathbb{N} \Rightarrow A \cap B=\mathbb{N}
  • مثال مع المجموعة الخالية: A=\{x,y\}, B=\emptyset \Rightarrow A \cap B= \emptyset

مثال لمجموعة متممة: إذا كانت س

علاقة الفرق[عدل]

عملية الفرق بين مجموعتين A و B يرمز لها بـ (A-B) ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى A وأيضاً لا تنتمي إلى B. أي أن عنصر x ينتمي إلى (A-B) إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B

بالرموز: x \in(A-B)\Leftrightarrow x \in A \and x \notin B

أمثلة:

  • A=\{1,2,3,4,5,6\}, B=\{3,5\} \Rightarrow (A-B)=\{1,2,4,6\}
  • الأعداد الفردية == \Rightarrow (A-B) الأعداد الزوجية = B، الأعداد الطبيعية == A
  • A=\mathbb{N}, B=\{-7,0,1\} \Rightarrow (A-B)=\{2,3,4,...\}
  • A=\{-1,-2\}, B=\mathbb{N} \Rightarrow (A-B)=\{-1,-2\}
  • A=\{x,y\}, B=\emptyset \Rightarrow (A-B)=\{x,y\}
دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى الفرق المتماثل بين المجموعتين A \Delta B.

علاقة الفرق المتماثل[عدل]

عملية الفرق المتماثل بين مجموعتين A و B يرمز لها بـ A \Delta B ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى مجموعة واحدة فقط. أي أن عنصر x ينتمي إلى A \Delta B إذا وفقط إذا(x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B) أو (x ينتمي إلى B وأيضاً x لا ينتمي إلى A)

بالرموز: x \in A \Delta B \Leftrightarrow (x \in A \and x \notin B) \or (x \in B \and x\notin A)

المجموعة كما يدل اسمها تجمع عدة عناصر أو قد تكون فارغة. وقد تكون منتهية أي أن عدد عناصرها عدد صحيح طبيعي معلوم أو تكون غير منتهية. أو هي مجموعة الأشياء المعرفة جيدا لها صفة مميزة مشتركة بينها.

جداء ديكارتي[عدل]

الجداء الديكارتي للمجموعتين A و- B , نرمز له كالتالي : A\times B هي المجموعة كل الازواج المرتبة (a,b) بحيث أنَّ : a\in A و b\in B .

مثلا الجداء الديكارتي بين المجموعة \{1,2\} و-  \{\mbox{red},\mbox{white}\} هو : \{1,2\}\times  \{\mbox{red},\mbox{white}\} \ = \ \{(1,\mbox{red}),(2,\mbox{red}),(1,\mbox{white}),(2,\mbox{white})\}

مجموعة القوى[عدل]

امثلة[عدل]

أمثلة لمجموعات منتهية[عدل]

  • مجموعة الأعداد \{2,4,6,8,10\}
  • مجموعة الاثنى عشر شهرا في السنة

فيما سبق نعتبرهم مجموعتين لأن عناصرهم معروفة ومحدودة.

  • مجموعة طلاب فصل أول متوسط بالمدرسة,
  • مجموعة الحروف الهجائية المكونة لكلمة محمد,
  • مجموعة الأعداد المحصورة بين العددين 7 و 11,
  • مجموعة أيام الأسبوع,
  • مجموعة الأدوات الهندسية,
  • المجموعة الخالية ويرمز لها بـ \emptyset أو {}
  • \{x,y,\{0,1\},70,380,\emptyset,\diamondsuit,\heartsuit,\clubsuit,\spadesuit\}

أمثلة لمجموعات غير منتهية[عدل]

  • مجموعة الأعداد الطبيعية ويرمز لها بحرف \mathbb{N}، \mathbb{N} = \{0,1,2,3,...\}
  • مجموعة الأعداد الصحيحة ويرمز لها بحرف \mathbb{Z}، \mathbb{Z} = \{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}

العمليات على المجموعات[عدل]

أمثلة:

  • A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} \Rightarrow A \Delta B=\{1,2,5,6\}
  • A=\{\alpha,\beta,\gamma\}, B=\{\beta\} \Rightarrow A \Delta B=\{\alpha,\gamma\}

لأن \alpha و\gamma ينتميان فقط لـ A أمّا \beta تنتمي لـ A وأيضاً لـ B.