نظرية المجموعات

نظرية المجموعات هي النظرية التي تصف المجموعات الرياضية المؤلفة من كائنات رياضية مجردة والعمليات المطبقة عليها، وتشكل إحدى أهم ركائز الرياضيات الحديثة.

المجموعة

المجموعة كما يدل اسمها تجمع عدة عناصر أو قد تكون فارغة. وقد تكون منتهية أي أن عدد عناصرها عدد صحيح طبيعي معلوم أو تكون غير منتهية. أو هي مجموعة الأشياء المعرفة جيدا لها صفة مميزة مشتركة بينها.

أمثلة لمجموعات منتهية

• مجموعة الأعداد {2,4,6,8,10}
• مجموعة الاثنى عشر شهرا في السنة

فيما سبق نعتبرهم مجموعتين لأن عناصرهم معروفة ومحدودة.

• مجموعة طلاب فصل أول متوسط بالمدرسة,
• مجموعة الحروف الهجائية المكونة لكلمة محمد,
• مجموعة الأعداد المحصورة بين العددين 7 و 11,
• مجموعة أيام الأسبوع,
• مجموعة الأدوات الهندسية,
• المجموعة الخالية ويرمز لها بـ $\emptyset$ أو {}
• $\{x,y,\{0,1\},70,380,\emptyset,\diamondsuit,\heartsuit,\clubsuit,\spadesuit\}$

أمثلة لمجموعات غير منتهية

• مجموعة الأعداد الطبيعية ويرمز لها بحرف $\mathbb{N}$، $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,...\}$
• مجموعة الأعداد الصحيحة ويرمز لها بحرف $\mathbb{Z}$، $\mathbb{Z} = \{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

العمليات على المجموعات

الاتحاد Union

دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى اتحاد المجموعتين $A \cup B$.

عملية اتحاد مجموعتين A و B يرمز لها بـ $A \cup B$ ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي لأي واحدة من المجموعتين A أو B. أي أن عنصر x ينتمي إلى $A \cup B$ إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A أو x ينتمي إلى B

بالرموز: $x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \or x \in B$

• مثال لإتحاد مجموعتين منتهيتين: $A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} \Rightarrow A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$

• مثال لإتحاد مجموعة منتهية ومجموعة غير منتهية: $A=\mathbb{N}, B=\{-3,-7,5\} \Rightarrow A \cup B=\{-3,-7,0,1,2,3,...\}$

• مثال لإتحاد مجموعتين غير منتهيتين: $A=\mathbb{N}, B=\{0,-1,-2,-3,...\} \Rightarrow A \cup B=\mathbb{Z}$

• مثال مع المجموعة الخالية: $A=\{x,y\}, B=\emptyset \Rightarrow A \cup B= \{x,y\}$

التقاطع intersection

دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى تقاطع المجموعتين $A \cap B$.

عملية تقاطع مجموعتين A و B يرمز لها بـ $A \cap B$ ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر المشتركة بين A و B. أي أن عنصر x ينتمي إلى $A \cap B$ إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x ينتمي إلى B.

بالرموز: $x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \and x \in B$

• مثال لتقاطع مجموعتين منتهيتين: $A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} \Rightarrow A \cap B=\{3,4\}$

• مثال لتقاطع مجموع منتهية ومجموعة غير منتهية: $A=\mathbb{N}, B=\{-3,1,17\} \Rightarrow A \cap B=\{1,17\}$

• مثال لتقاطع مجموعتين غير منتهيتين: $A=\mathbb{Z}, B=\mathbb{N} \Rightarrow A \cap B=\mathbb{N}$

• مثال مع المجموعة الخالية: $A=\{x,y\}, B=\emptyset \Rightarrow A \cap B= \emptyset$

الفرق Difference

عملية الفرق بين مجموعتين A و B يرمز لها بـ (A − B) ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى A وأيضاً لا تنتمي إلى B. أي أن عنصر x ينتمي إلى (A − B) إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B

بالرموز: $x \in(A-B)\Leftrightarrow x \in A \and x \notin B$

أمثلة:

• $A=\{1,2,3,4,5,6\}, B=\{3,5\} \Rightarrow (A-B)=\{1,2,4,6\}$
• الأعداد الفردية = $\Rightarrow (A-B)$ الأعداد الزوجية = B، الأعداد الطبيعية = A
• $A=\mathbb{N}, B=\{-7,0,1\} \Rightarrow (A-B)=\{2,3,4,...\}$
• $A=\{-1,-2\}, B=\mathbb{N} \Rightarrow (A-B)=\{-1,-2\}$
• $A=\{x,y\}, B=\emptyset \Rightarrow (A-B)=\{x,y\}$

دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى الفرق المتماثل بين المجموعتين AΔB.

الفرق المتماثل Symmetric difference

عملية الفرق المتماثل بين مجموعتين A و B يرمز لها بـ AΔB ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى مجموعة واحدة فقط. أي أن عنصر x ينتمي إلى AΔB إذا وفقط إذا(x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B) أو (x ينتمي إلى B وأيضاً x لا ينتمي إلى A)

بالرموز: $x \in A \Delta B \Leftrightarrow (x \in A \and x \notin B) \or (x \in B \and x\notin A)$

أمثلة:

• $A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} \Rightarrow A \Delta B=\{1,2,5,6\}$
• $A=\{\alpha,\beta,\gamma\}, B=\{\beta\} \Rightarrow A \Delta B=\{\alpha,\gamma\}$

لأن α وγ ينتميان فقط لـ A أمّا β تنتمي لـ A وأيضاً لـ B.