جسيم في حلقة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

جسيم في حلقة في ميكانيكا الكم (بالإنجليزية: particle in a ring ) هو أحد النماذج المسخدمة في ميكانيكا الكم تؤدي إلى كمومية الطاقة (أي أن تتخذ الطاقة كمات محددة منفصلة) . ويعتبر هذا المثال مشابها لحالة الجسيم في صندوق والمحلولة هناك بإسهاب . ولذلك يسمى هذا النموذج أحيانا " جسيم في صندوق جهدي حلقي " .

تنشأ على محيط الدائرة عددا صحيحا فقط من أنصاف طول الموجة وتكوّن موجة ساكنة ، كما يمكن تكوّن ترددات خاصة معينة تفي بهذا الشرط ، وبالتالي عدة مستويات طاقة منفصلة.

والاختلاف عن حالة الجسيم في صندوق هو أن الجسيم هنا يتحرك دائريا وليس في خط مستقيم في حلقة جهد حول نقطة معينة .

وتصاغ معادلة شرودنجر لهذه الحالة كالآتي :

حيث :

E طاقة الجسيم
m كتلة الجسيم
r نصف قطر الحلقة الجهدية
الدالة الموجية للجسيم .

الصياغة الرياضية[عدل]

لكي نحصل عل الدوال الموجية و ومستويات الطاقة لجسيم في الحلقة نستخدم معادلة شرودنغر في الحالة المستقرة (التي لا تعتمد على الزمن) في الجهد الموجود . ويمثل الجهد بالعلاقة:

ويمكن كتابة معامل هاميلتون في نظام الإحداثيات الكروية في مسألتنا كالآتي:

فتنتج معادلة شرودنجر التي نريد حلها :

وهي معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ، وفيها طاقة E الجسيم ، وحل المعادلة يعطينا الدالة الموجية للجسيم :

وبالتعويض عنها في معادلة شرودنجر نحصل على :

ولكي نصل إلى حل واضح المعنى لا بد من اختيار شرط هام ، وهو أنه بعد إتمام دورة كاملة في الحلقة لابد وأن تتخذ الدالة الموجية قيمتها الابتدائية ثانيا:

وهذا يؤدي إلى الشرط التالي:

وهذا الشرط يتحقق عندما تكون عددا صحيحا . ونحصل على الطاقات التي يمكن للجسيم امتلاكها في الحلقة عن طريق اعادة تشكيل المعادلة:

والآن نقوم بتوحيد الدالة الموجية ، عن طريق إجراء تكامل على مربع مقدار الدالة الموجية بين و (التوحيد معناه أن الدالة الموجية موجودة في الحلقة بنسبة 100%) .

ويمكن كتابة الدالة الموجية ب صيغة أويلر التي تحول الدالة الأسية المركبة إلى دالة مثلثية بالطريقة التالية:

وبما أن مقدار العدد المركب معرف بالعلاقة

فنحصل على:

بذلك نحصل على قيمة .

بذلك نكون قد توصلنا إلى الدالة الموجية لجسيم في الحلقة :

حيث هو نصف قطر الحلقة الذي يستقر فيه الجسيم .

كما حصلنا أعلاه على الطاقات E التي يمكن للجسيم امتلاكها وهي تعتمد على حيث M لا تأخذ سوى أعدادا صحيحة ، وهذ هو معنى كمومية الطاقة ، فالطاقة التي يمكن للجسيم امتلاكها تكون منفصلة descret.

الانفطار[عدل]

بين حل مسألة حركة جسيم في حلقة جهدية أن طاقة الجسيم تتخذ مقادير كمومية منفصلة ، وبجانب تلك النتيجة الهامة يشير المثال إلى تواجد صفة افطار أو انشقاق مستويات الطاقة . فحل مسألة الجسيم في حلقة أتي بقيم ل ذات إشارة موجبة وذات إشارة سالبة ، أي تمثل حالتين مختلفتين حيث تمثل نفس الطاقة . هذا معناه أنه توجد لكل مستوي طاقة حالتين ، ويسمى ذلك أن النظام منفطر انفطارا ثنائيا .

ونشاهد ظاهرة انفطار مستويات طاقة الإلكترون في الذرات عند تعرض الذرة إلى مجال مغناطيسي خارجي شديد كما في تأثير زيمان ، أو تعرض الذرة إلى مجال كهربائي خارجي شديد مثلما في تأثير شتارك. وتظهر عمليا في هيئة انشقاق خطوط الطيف لها .

توحيد الدالة الموجية للزخم الزاوي[عدل]

للحصول على القيم للزخم الزاوي نستخدم عملية التوحيد وهي أحد شروط حل الدالة الموجية لجسيم . والتوحيد معناه أن الجسيم موجود فعلا في الحلقة .

left </noinclude>

3left </noinclude>

للحصول على قيمة الدالة الموجية نضرب الدالة الموجية في مرافقها ، ونأخذ الجذر التربيعي منها.

نحصل على ثابت التوحيد بإجراء تكامل المعادلة:

left </noinclude>

بذلك نحصل على الدالة الموجية الموحدة :

left </noinclude>

وتتحقق المعادلة عندما يكون ثابت التوحيد عددا حقيقيا (أي عندما يكون طور الموجة مساويا للصفر ، ).

وبالتعويض عنها في معادلة مربع الدالة الموجية أعلاه , نحصل على الكثافة الاحتمالية :

left </noinclude>

وهي نتيجة تتفق مع الميكانيكا الكلاسيكية .

المصادر[عدل]

انظر أيضاً[عدل]