رمز براكيت

مقدمة ميكانيكا الكم

${\Delta x}\,{\Delta p_{x}}\geq {\frac {\hbar }{2}}$${\Delta x}\,{\Delta p_{x}}\geq {\frac {\hbar }{2}}$

مبدأ الريبة

المقدمة · الصياغة الرياضية خلفية ميكانيكا كلاسيكية النظرية الكمومية القديمة تداخل · ترميز برا-كيت هاملتوني مصطلحات أساسية حالة كمومية · دالة الموجة تراكب · تشابك القياس · الارتياب أو اللاتحديد الاستبعاد · المثنوية Decoherence · مبرهنة إيهرينفيست · عبور النفق تجارب تجربة الشق المزدوج تجربة دافيسون-غيرمر تجربة شتيرن-غيرلاش تجربة لامساواة بل تجربة بوبر قطة شرودنغر Elitzur-Vaidman bomb-tester ماحي كمومي معادلات معادلة شرودنغر معادلة باولي معادلة كلاين-غوردون معادلة ديراك معادلة رايدبيرغ تفسيرات تفسير كوبنهاغن · تفسير إحصائي نظرية المتغير الخفي · Transactional تفسير العوالم · Consistent histories Relational · منطق كمومي مواضيع متقدمة نظرية الحقل الكمومي ثقالة كمومية نظرية كل شيء علماء بلانك · أينشتاين · بور · سومرفيلد · بوز · كرامرز · هايزنبرج· بورن · جوردان · باولي · ديراك · دي برولي ·شرودنجر · فون نيومان · فيجنر · فاينمان · كاندلين · Bohm · إيفيريت · Bell · فيلهام فين

رمز براكيت تم إدخاله من طرف بول ديراك لتسهيل كتابة معادلات ميكانيكا الكم، و أيضا لإظهار الجانب المتجهي للشيئ المُمثِل للحالة الكمومية. (انظر مسلمات ميكانيكا الكم) .
التسمية جاءت من الأصل الإنجليزي (bracket) و التي تعني "المعقوفتين" "$\langle$$\langle$" و "$\rangle$$\rangle$" و المسماة "ket" "كيت" و "bra" "برا" على التوالي. هذه الكتابة تم أخدها لدراسة جبر المؤثرات في الرياضيات حيث مجال التطبيق عريض جداً.

أصل الصياغة

الدوال الموجية الكمية هي نسبية، مرتبطة و لها علاقة بالزمن و خصائص أخرى للجسيمات (اللف المغزلي، الزخم المغناطيسي...):

$\Psi (t,x,y,z,\sigma ,\ldots )$$\Psi (t,x,y,z,\sigma ,\ldots )$

لتكون حلول لمعادلة شرودنغر:

$i\hbar \partial _{t}\Psi (t,x,\ldots )=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \Psi (t,x,\ldots )+V(x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )$$i\hbar \partial _{t}\Psi (t,x,\ldots )=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \Psi (t,x,\ldots )+V(x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )$

يجب أن تكون موحدة،

$\int \Psi ^{*}(t,x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =1$$\int \Psi ^{*}(t,x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =1$

معنى توحيد الدالة التي تصف الجسيم ، أن الجسيم موجود بنسبة 100% (أي احتمال =1) في المكان بين 0 إلى مالانهاية .

و قيم قياس فيزيائي $A$$A$ (تسمى مطال الدالة) تعبر عن احتمال وجود الجسيم في النقطة x , y, z في النقطة الزمنية tونحصل عليها ب:

$\int \Psi ^{*}(t,x,\ldots )A(x,\partial _{x},\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =\langle A\rangle$$\int \Psi ^{*}(t,x,\ldots )A(x,\partial _{x},\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =\langle A\rangle$

تستند كتابة ديراك على تحديد التكامل السابق مع جداء هرميتي في فضاء الدوال دات القيم العقدية للأس المربع القابل للجمع L²:

$\int \Psi ^{*}(t,x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =\langle \Psi ,\Psi \rangle$$\int \Psi ^{*}(t,x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =\langle \Psi ,\Psi \rangle$

وبالتعميم على دالتين $\Phi (t,\dots )$$\Phi (t,\dots )$ و $\Psi (t,\dots )$$\Psi (t,\dots )$ :

$\int \Phi ^{*}(t,x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =\langle \Phi ,\Psi \rangle$$\int \Phi ^{*}(t,x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =\langle \Phi ,\Psi \rangle$

يُرمز له في ميكانيكا الكم: $\langle \Phi \mid \Psi \rangle$$\langle \Phi \mid \Psi \rangle$

نحدد بالتالي:

• الدالة $\Psi (t,x,y,z,\sigma ,\dots )$$\Psi (t,x,y,z,\sigma ,\dots )$ مع متجهة $|\Psi \rangle$$|\Psi \rangle$ تُسمى "كيت" $\Psi$$\Psi$.
• التابعي الرياضي المزدوج $\textstyle \int \Phi ^{*}(t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots$$\textstyle \int \Phi ^{*}(t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots$ مع $\langle \Phi |$$\langle \Phi |$ يُسمى "برا" $\Phi$$\Phi$، زوج ل "كيت" $\Psi$$\Psi$.

من ناحية أخرى في صياغة هايزنبرج، الحلول ليست دوال، بل متجهات في فضاء متجهات الحالات، مما يجعل التحديد مباشر أكثر.

كيت

لتكن متجهة في فضاء الحالات، يُرمز لها ب $|u\rangle$$|u\rangle$ تُسمى "المتجهة كيت" أو "كيت"
زوجين من "كيت" يُكونان فضاء متجهي خطي، و بالتالي، إذا كانت $\lambda _{1}$$\lambda _{1}$ و $\lambda _{2}$$\lambda _{2}$ أعداد عقدية :

$|v\rangle =\lambda _{1}\cdot |u_{1}\rangle +\lambda _{2}\cdot |u_{2}\rangle$$|v\rangle =\lambda _{1}\cdot |u_{1}\rangle +\lambda _{2}\cdot |u_{2}\rangle$

إذن:$v$$v$ هو "كيت".
و بالذهاب بعيدا، إذا كان $|x\rangle$$|x\rangle$ مرتبط بمؤشر متواصل $x$$x$، و إذا كان $f$$f$ دالة عُقدية موحدة في $[x_{1}\,,x_{2}]$$[x_{1}\,,x_{2}]$، فإن:

$|u\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x).|x\rangle \mathrm {d} x$$|u\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x).|x\rangle \mathrm {d} x$ هو "كيت".

برا

نقرن كل "كيت" في فضاء $\varepsilon$$\varepsilon$،ب عدد مركب. نحدد لهذه الغاية تابعي خطي $\chi$$\chi$، بحيث:

$\chi :|\psi \rangle \rightarrow \lambda =\chi (\psi )$$\chi :|\psi \rangle \rightarrow \lambda =\chi (\psi )$, و

$\chi {(\lambda _{1}\cdot |\psi _{1}\rangle +\lambda _{2}\cdot |\psi _{2}\rangle )}=\lambda _{1}\cdot \chi {(|\psi _{1}\rangle )}+\lambda _{2}\cdot \chi {(|\psi _{2}\rangle )}$$\chi {(\lambda _{1}\cdot |\psi _{1}\rangle +\lambda _{2}\cdot |\psi _{2}\rangle )}=\lambda _{1}\cdot \chi {(|\psi _{1}\rangle )}+\lambda _{2}\cdot \chi {(|\psi _{2}\rangle )}$

مجموعة هذه التابعيات الخطية تكون فضاء متجهي $\varepsilon ^{*}$$\varepsilon ^{*}$ يُسَمى "فضاء زوجي ل $\varepsilon$$\varepsilon$". نسمي "متجه برا" أو "برا" كل عنصر من هذه المجموعة و نرمز له ب: $\langle \phi |$$\langle \phi |$.
و بالتالي إذا كان التابعي الخطي $\chi$$\chi$ يؤثر على $|\psi \rangle$$|\psi \rangle$، نحصل على :

$\chi {(|\psi \rangle )}=\lambda =\langle \phi \mid \psi \rangle$$\chi {(|\psi \rangle )}=\lambda =\langle \phi \mid \psi \rangle$

انظر أيضا

ميكانيكا الكم

المراجع

• Feynman, Leighton and Sands (1965). The Feynman Lectures on Physics Vol. III. Addison-Wesley. ISBN 0-201-02115-3. 

وصلات خارجية

• (بالإنجليزية)Richard Fitzpatrick, "Quantum Mechanics: A graduate level course", The University of Texas at Austin
  • (بالإنجليزية) 1. Ket space
  • (بالإنجليزية) 2. Bra space
  • (بالإنجليزية) 3. Operators
  • (بالإنجليزية) 4. The outer product
  • (بالإنجليزية) 5. Eigenvalues and eigenvectors
• (بالإنجليزية)Robert Littlejohn, Lecture notes on "The Mathematical Formalism of Quantum mechanics", including bra-ket notation.