رمز براكيت

رمز براكيت (بالإنجليزية: Bra–ket notation) تم إدخاله من طرف بول ديراك لتسهيل كتابة معادلات ميكانيكا الكم، و أيضا لإظهار الجانب المتجهي للشيئ المُمثِل للحالة الكمومية.^[1] (انظر مسلمات ميكانيكا الكم) .
التسمية جاءت من الأصل الإنجليزي (bracket) و التي تعني "المعقوفتين" " $\langle$ " و " $\rangle$ " و المسماة "ket" "كيت" و "bra" "برا" على التوالي. هذه الكتابة تم أخدها لدراسة جبر المؤثرات في الرياضيات حيث مجال التطبيق عريض جداً.

أصل الصياغة[عدل]

الدوال الموجية الكمية هي نسبية، مرتبطة و لها علاقة بالزمن و خصائص أخرى للجسيمات (اللف المغزلي، الزخم المغناطيسي...):

$\Psi (t,x,y,z,\sigma ,\ldots )$

لتكون حلول لمعادلة شرودنغر:

$i\hbar \partial _{t}\Psi (t,x,\ldots )=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \Psi (t,x,\ldots )+V(x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )$

يجب أن تكون موحدة،

$\int \Psi ^{*}(t,x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =1$

معنى توحيد الدالة التي تصف الجسيم ، أن الجسيم موجود بنسبة 100% (أي احتمال =1) في المكان بين 0 إلى مالانهاية .

و قيم قياس فيزيائي $A$ (تسمى مطال الدالة) تعبر عن احتمال وجود الجسيم في النقطة x , y, z في النقطة الزمنية tونحصل عليها ب:

$\int \Psi ^{*}(t,x,\ldots )A(x,\partial _{x},\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =\langle A\rangle$

تستند كتابة ديراك على تحديد التكامل السابق مع جداء هرميتي في فضاء الدوال ذاتَ القيم العقدية للأس المربع القابل للجمع L²:

$\int \Psi ^{*}(t,x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =\langle \Psi ,\Psi \rangle$

وبالتعميم على دالتين $\Phi (t,\dots )$ و $\Psi (t,\dots )$ :

$\int \Phi ^{*}(t,x,\ldots )\Psi (t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots =\langle \Phi ,\Psi \rangle$

يُرمز له في ميكانيكا الكم: $\langle \Phi \mid \Psi \rangle$

نحدد بالتالي:

الدالة $\Psi (t,x,y,z,\sigma ,\dots )$ مع متجهة $|\Psi \rangle$ تُسمى "كيت" $\Psi$ .
التابعي الرياضي المزدوج $\textstyle \int \Phi ^{*}(t,x,\ldots )\,\mathrm {d} x\ldots$ مع $\langle \Phi |$ يُسمى "برا" $\Phi$ ، زوج ل "كيت" $\Psi$ .

من ناحية أخرى في صياغة هايزنبرج، الحلول ليست دوال، بل متجهات في فضاء متجهات الحالات، مما يجعل التحديد مباشر أكثر.

كيت[عدل]

لتكن متجهة في فضاء الحالات، يُرمز لها ب $|u\rangle$ تُسمى "المتجهة كيت" أو "كيت"
زوجين من "كيت" يُكونان فضاء متجهي خطي، و بالتالي، إذا كانت $\lambda _{1}$ و $\lambda _{2}$ أعداد عقدية :

$|v\rangle =\lambda _{1}\cdot |u_{1}\rangle +\lambda _{2}\cdot |u_{2}\rangle$

إذن: $v$ هو "كيت".
و بالذهاب بعيدا، إذا كان $|x\rangle$ مرتبط بمؤشر متواصل $x$ ، و إذا كان $f$ دالة عُقدية موحدة في $[x_{1}\,,x_{2}]$ ، فإن:

$|u\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x).|x\rangle \mathrm {d} x$ هو "كيت".

برا[عدل]

نقرن كل "كيت" في فضاء $\varepsilon$ ،ب عدد مركب. نحدد لهذه الغاية تابعي خطي $\chi$ ، بحيث:

$\chi :|\psi \rangle \rightarrow \lambda =\chi (\psi )$ , و

$\chi {(\lambda _{1}\cdot |\psi _{1}\rangle +\lambda _{2}\cdot |\psi _{2}\rangle )}=\lambda _{1}\cdot \chi {(|\psi _{1}\rangle )}+\lambda _{2}\cdot \chi {(|\psi _{2}\rangle )}$

مجموعة هذه التابعيات الخطية تكون فضاء متجهي $\varepsilon ^{*}$ يُسَمى "فضاء زوجي ل $\varepsilon$ ". نسمي "متجه برا" أو "برا" كل عنصر من هذه المجموعة و نرمز له ب: $\langle \phi |$ .
و بالتالي إذا كان التابعي الخطي $\chi$ يؤثر على $|\psi \rangle$ ، نحصل على :

$\chi {(|\psi \rangle )}=\lambda =\langle \phi \mid \psi \rangle$