قاعدة (جبر خطي)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
نفس المتجه يمكن أن يعبر عنه في قاعدتين مختلفتين اثنتين (باللونين المدادي والأحمر).

في الجبر الخطي، قاعدةٌ (بالإنجليزية: Basis) هي مجموعة من المتجهات المستقلة خطيا، والتي بواسطة تركيبة خطية، يمكن لها أن تعبر عن أي متجه منتم إلى فضاء متجهي معين.

لتكن قاعدة ما لفضاء متجهي V ما. جميع عناصر V يُمكن أن يعبر عنهن بشكل وحيد بواسطة تأليفة خطية لمتجهات القاعدة. الأعداد المستعملة خلال هذه التأليفة الخطية تسمى إحداثيات المتجهة.

تعريف[عدل]

القاعدة B لفضاء متجهي V على حقل F هو مجموعة جزئية مستقلة خطيًا من V تغطي المدى الخطي لـV.

بشكل أدق، افترض أن {B = {v1, …, vn، هي مجموعة جزئية منتهية من الفضاء المتجهي V على الحقل F (مثل الأعداد الحقيقية R أو المركبة C). حينها، نقول أن B قاعدة لـV إذا حققت الشروط التالية:

  • خاصية الاستقلال الخطي،
              لكل a1،...،anF، إذا كان a1v1 + … + anvn = 0، فإنه يجب أن يكون a1 = … = an = 0
  • خاصية تغطية المدى،
              لكل x في V من الممكن اختيار a1, …, anF بحيث x = a1v1 + … + anvn.

تسمى الأعداد ai إحداثيات المتجه x بالنسبة للقاعدة B، وبسبب الخاصية الأولى فإنهم محددون بشكل فريد.

إذا كانت قاعدة الفضاء المتجهي منتهية، نقول أن الفضاء منتهي الأبعاد.

خصائص[عدل]

  • لكل فضاء متجهي قاعدة. يتطلب الإثبات بديهية الاختيار. جميع القواعد لفضاء متجهي لديها نفس عدد العناصر، ويسمى هذا العدد بعد الفضاء المتجهي. تعرف هذه النتيجة بمبرهنة البعد.
  • للعديد من الفضاءات المتجهة قواعد أساسية، مثل:
    • في Rn ، لدينا أن {e1, ..., en} تكوّن قاعدة أساسية، حيث ei هو العامود الi من مصفوفة الوحدة.
    • في P2، حيث P2 هي مجموعة جميع الحدوديات من الدرجة الثانية على الأكثر، تكوّن {1, x, x2} قاعدة أساسية.
    • في M22 ، لدينا أن {M1,1, M1,2, M2,1, M2,2} تكوّن قاعدة، حيث M22 هي مجموعة جميع المصفوفات 2×2 . و Mm,n هي المصفوفة 2×2 بـ1 في الموضع m,n وأصفار في كل موضع آخر.

أمثلة[عدل]

برهان وجود القاعدة[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg
هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.