Illustration of numerical integration for the differential equation
y
′
=
y
,
y
(
0
)
=
1.
{\displaystyle y'=y,y(0)=1.}
طريقة أويلر , باللون الأخضر: طريقة النقطة المنتصف , باللون الأحمر: الحلحلة الدقيقة,
y
=
e
t
.
{\displaystyle y=e^{t}.}
h
=
1.0.
{\displaystyle h=1.0.}
تعتبر المعادلات التفاضلية من الأدوات الرياضية الهامة في فهم العديد من المسائل الفيزيائية والهندسية والاجتماعية وقد امتدت أهميتها مؤخرا إلى حقول العلوم الاقتصادية وظهر ما يسمى بالنمذجة الرياضية.
المعادلة التفاضلية هي معادلة تحتوي على مشتقات وتفاضلات لبعض الدوال الرياضية وتظهر بشكل متغيرات المعادلة.
تصنيف المعادلات [ عدل ] معادلات تفاضلية جزئية
معادلات تفاضلية عادية : هي معادلة تفاضلية تحتوي على متغير مستقل واحد. تقسم مسائل المعادلات التفاضلية العادية إلى [ عدل ] مسائل قيم ابتدائية.
مسائل قيم حدية.
مسائل القيم الابتدائية:
في هذا النوع من المسائل يكون للمعادلة التفاضلية شرط ابتدائي للمتغيرات المستقلة
الشرط الابتدائي يمثل النقطة الابتدائية للدالة التي تمثل حل المعادلة التفاضلية.
,
y
′
=
f
(
x
,
y
)
,
y
(
a
)
=
α
{\displaystyle y'=f(x,y),\,\,\,y(a)=\alpha }
فيما يلي بعض الطرق العددية لإيجاد الحل العددي للمعادلة التفاضلية.
قبل استعراض الحل التقريبي للطرق العددية لمسالة القيمة الابتدائية نحتاج لبعض التعاريف والنظريات .
تعريف
لتكن
f
(
t
,
y
)
{\displaystyle f(t,y)}
R
2
⊂
D
{\displaystyle R^{2}\subset D}
إذا وجد L>0
|
f
(
t
,
y
1
)
−
f
(
t
,
y
2
)
|
≤
|
y
1
−
y
2
|
{\displaystyle |f(t,y_{1})-f(t,y_{2})|\leq |y_{1}-y_{2}|}
كلما أخذنا (t,y_1),(t,y_2) في D , يسمى L ثابت ليبتشيز للدالة f
مثال
أثبتي أن الدالة |f(t,y)=t|y تحقق شرط ليبتشيز في الفترة
D
=
{
(
t
,
y
)
:
1
≤
t
≤
2
,
−
3
≤
y
≤
4
}
{\displaystyle D=\left\{(t,y):{1\leq t\leq 2},{-3\leq y\leq 4}\right\}}
الحل :
لأي زوج من النقاط (t,y_1),(t,y_2) في D
|
f
(
t
,
y
1
)
−
f
(
t
,
y
2
)
|
=
|
t
|
y
1
|
−
t
|
y
2
|
|
=
|
t
|
|
|
y
1
|
−
|
y
2
|
|
≤
2
|
y
1
−
y
2
|
{\displaystyle |f(t,y_{1})-f(t,y_{2})|=|t|y_{1}|-t|y_{2}||=|t|||y_{1}|-|y_{2}||\leq 2|y_{1}-y_{2}|}
إذا ƒ تحقق شرط ليبتشيز
L
=
2
{\displaystyle L=2}
النظرية (1) [ عدل ] نفرض أن
D
=
{
(
t
,
y
)
:
a
≤
t
≤
b
,
−
∞
<
y
<
∞
}
{\displaystyle D=\left\{(t,y):{a\leq t\leq b},{-\infty <y<\infty }\right\}}
بحيث
f
(
t
,
y
)
{\displaystyle f(t,y)}
فإن مسألة القيمة الابتدائية
y
′
(
t
)
=
f
(
t
,
y
)
,
a
≤
t
≤
b
,
y
(
a
)
=
α
{\displaystyle y'(t)=f(t,y),\,\,\,{a\leq t\leq b},\,\,\,{y(a)=\alpha }}
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
a
≤
t
≤
b
{\displaystyle {a\leq t\leq b}}
مثال
أستخدم نظرية(1) لإثبات أنه يوجد حل وحيد لمسألة القيمة الابتدائية
y
′
=
1
+
t
sin
(
t
y
)
,
0
≤
t
≤
2
,
y
(
0
)
=
0
{\displaystyle y'=1+t\sin(ty),\,\,\,{0\leq t\leq 2},\,\,\,y(0)=0}
الحل :
t ثابت نطبق نظرية القيمة المتوسطة للدالة
f
(
t
,
y
)
=
1
+
t
sin
(
t
y
)
{\displaystyle f(t,y)=1+t\sin(ty)}
نجد أنه عندما
y
<
y
2
{\displaystyle y<y_{2}}
ξ
{\displaystyle \xi }
(
y
1
,
y
2
)
{\displaystyle (y_{1},y_{2})}
f
(
t
,
y
1
)
−
f
(
t
,
y
2
)
(
y
1
,
y
2
)
=
∂
∂
y
(
f
(
t
,
ξ
)
)
=
t
2
cos
(
ξ
t
)
{\displaystyle {\frac {f(t,y_{1})-f(t,y_{2})}{(y_{1},y_{2})}}\ ={{\frac {\partial }{\partial y}}\left(f(t,\xi )\right)=t^{2}\cos(\xi t)}}
|
f
(
t
,
y
2
)
−
f
(
t
,
y
1
)
|
=
|
y
2
−
y
1
|
|
t
2
cos
(
ξ
t
)
|
≤
4
|
y
2
−
y
1
|
{\displaystyle |f(t,y_{2})-f(t,y_{1})|=|y_{2}-y_{1}||t^{2}\cos(\xi t)|\leq 4|y_{2}-y_{1}|}
f تحقق شرط ليبتشيز والثابت هو
L
=
4
{\displaystyle L=4}
وبالإضافة إلى ذلك
f
(
t
,
y
)
{\displaystyle f(t,y)}
0
≤
t
≤
2
,
−
∞
<
y
<
∞
{\displaystyle {0\leq t\leq 2},\,\,\,{-\infty <y<\infty }}
من نظرية (1) إنه يوجد حل وحيد لمسألة القيمة الابتدائية
الطرق العددية [ عدل ] طريقة اويلر
طريقة تايلور
y
′
=
f
(
x
,
y
)
,
a
≤
t
≤
b
,
y
(
a
)
=
α
{\displaystyle y'=f(x,y),\,\,\,{a\leq t\leq b},\,\,\,y(a)=\alpha }
طريقة تايلور من الرتب العليا [ عدل ]
w
i
=
α
{\displaystyle w_{i}=\alpha }
w
i
+
1
=
w
i
+
h
T
n
(
t
i
,
w
i
)
,
i
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
N
−
1
{\displaystyle w_{i+1}=w_{i}+hT^{n}(t_{i},w_{i}),\,\,\,{i=0,1,2,...N-1}}
h
=
(
b
−
a
)
n
,
w
i
≅
y
(
t
i
)
{\displaystyle h={\frac {(b-a)}{n}},\,\,\,w_{i}\cong y(t_{i})}
طريقة اويلر [ عدل ] هي تايلور من الرتبة الأولى
y
′
=
f
(
x
,
y
)
,
a
≤
t
≤
b
,
y
(
a
)
=
α
{\displaystyle y'=f(x,y),\,\,\,{a\leq t\leq b},\,\,\,y(a)=\alpha }
y
i
+
1
=
y
i
+
h
f
(
t
i
,
y
i
)
{\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i})}
h
=
(
b
−
a
)
n
,
w
i
≈
y
(
t
i
)
{\displaystyle h={\frac {(b-a)}{n}},\,\,\,w_{i}\approx y(t_{i})}
خطأ أويلر [ عدل ] نظرية [ عدل ] إذا كانت f متصلة وتحقق شرط ليبتشيز على
D
=
{
(
t
,
y
)
:
a
≤
t
≤
b
,
−
∞
<
y
<
∞
}
{\displaystyle D=\left\{(t,y):{a\leq t\leq b},{-\infty <y<\infty }\right\}}
ويوجد ثابت M بحيث يحقق
|
y
″
(
t
)
|
≤
M
,
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle {|y''(t)|\leq M},\,\,\,{t\in [a,b]}}
عندما تكون
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
y
′
=
f
(
x
,
y
)
,
a
≤
t
≤
b
,
y
(
a
)
=
α
{\displaystyle y'=f(x,y),\,\,\,{a\leq t\leq b},\,\,\,y(a)=\alpha }
نفرض أن
w
1
,
w
2
,
w
3
,
.
.
.
{\displaystyle {w_{1},w_{2},w_{3},...}}
∀
i
=
0
,
1
,
.
.
.
.
,
N
{\displaystyle {\forall i=0,1,....,N}}
|
(
y
(
t
i
)
−
w
i
)
|
≤
h
M
2
L
[
e
L
(
t
i
−
a
)
−
1
]
{\displaystyle |(y(t_{i})-w_{i})|\leq {\frac {hM}{2L}}[e^{L(t_{i}-a)}-1]}
ملاحظات [ عدل ] الخطأ النسبي لطريقة اويلر ناتج عن اختيار أول حدين من متسلسلة تايلور وحذف باقي الحدود.
كلما زادت الرتبة في طريقة تايلور فإن الدقة تكون أفضل. مراجع [ عدل ]
numerical analysis / Richard . Burden /J.Douglas Faires /ninth edition
مقدمة في التحليل العددي د.مجدي الطويل 
![{\displaystyle {|y''(t)|\leq M},\,\,\,{t\in [a,b]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3261e0b0b83a69b08a5ba7c7bd5f039c374495bc)
![{\displaystyle |(y(t_{i})-w_{i})|\leq {\frac {hM}{2L}}[e^{L(t_{i}-a)}-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a20a507f5e011f85b2025e10387543233d62224)
