انتقل إلى المحتوى

قانون الاحتمالات الكلية

هذه المقالة يتيمة. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها
يرجى إضافة قالب معلومات متعلّقة بموضوع المقالة.
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
توضيح بصري لنظرية الاحتمالية الكلية

في نظرية الاحتمالات ، قانون (أو صيغة ) الاحتمال الكلي هو قاعدة أساسية تربط الاحتمالات الهامشية بالاحتمالات الشرطية . إنه يعبر عن الاحتمال الكلي لنتيجة يمكن تحقيقها من خلال عدة أحداث متميزة ، ومن هنا جاء الاسم.

القانون

[عدل]

قانون الاحتمال الكلي هو [1] نظرية تنص ، في حالتها المنفصلة(المتقطعة) ، إذا هو قسم محدود أو لانهائي من مساحة عينة (بمعنى آخر ، مجموعة من الأحداث المنفصلة الزوجية التي يكون اتحادها هو مساحة العينة بأكملها) وكل حدث قابل للقياس ، إذن لأي حدث من نفس مجال الاحتمال :

أو ، بدلاً من ذلك ، [2]

حيث ، لأي لأي منهم تم حذف هذه المصطلحات ببساطة من الجمع ، لأن محدود.

يمكن تفسير التجميع على أنه متوسط موزون ، وبالتالي الاحتمال الهامشي ، ، تسمى أحيانًا "الاحتمال المتوسط" ؛ [3] يُستخدم مصطلح "الاحتمال الإجمالي" أحيانًا في الكتابات الأقل رسمية. [4]

يمكن أيضًا تحديد قانون الاحتمال الكلي للاحتمالات الشرطية:

أخذ على النحو الوارد أعلاه ، وافتراض هو حدث مستقل عن أي من  :

حالة مستمرة

[عدل]

يمتد قانون الاحتمال الكلي إلى حالة التكييف على الأحداث الناتجة عن المتغيرات العشوائية المستمرة. يترك يكون مجال احتمالي . افترض هو متغير عشوائي مع دالة التوزيع ، و حدث يوم . ثم ينص قانون الاحتمال الكلي

إذا يعترف بدالة الكثافة ، ثم النتيجة

علاوة على ذلك ، بالنسبة للحالة المحددة حيث ، حيث هي مجموعة Borel ، ثم هذا ينتج

مثال

[عدل]

لنفترض أن هناك مصنعين يزودان السوق بمصابيح كهربائية . تعمل مصابيح Factory X لأكثر من 5000 ساعة في 99٪ من الحالات ، بينما تعمل مصابيح المصنع Y لأكثر من 5000 ساعة في 95٪ من الحالات. من المعروف أن المصنع X يوفر 60٪ من إجمالي المصابيح المتاحة و Y يوفر 40٪ من إجمالي المصابيح المتاحة. ما هي احتمالية أن يعمل المصباح الذي تم شراؤه لمدة تزيد عن 5000 ساعة؟

بتطبيق قانون الاحتمال الكلي ، نحصل على:

حيث أن:

  • هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع X ؛
  • هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع Y ؛
  • هو احتمال أن يعمل المصباح المصنوع بواسطة X لأكثر من 5000 ساعة ؛
  • هو احتمال أن يعمل المصباح المصنوع بواسطة Y لأكثر من 5000 ساعة.

وبالتالي فإن كل مصباح كهربائي يتم شراؤه لديه فرصة 97.4٪ للعمل لأكثر من 5000 ساعة.

أنظر أيضا

[عدل]

مراجع

[عدل]
  1. ^ Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae, CRC Press. (ردمك 1-58488-059-7) page 31.
  2. ^ Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae, CRC Press. (ردمك 1-58488-059-7)ISBN 1-58488-059-7 page 31.
  3. ^ Paul E. Pfeiffer (1978). Concepts of probability theory. Courier Dover Publications. ص. 47–48. ISBN:978-0-486-63677-1. مؤرشف من الأصل في 2022-12-21.
  4. ^ Deborah Rumsey (2006). Probability for dummies. For Dummies. ص. 58. ISBN:978-0-471-75141-0. مؤرشف من الأصل في 2022-12-21.