تبديل (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
التبديلات الستة لثلاث كرات

التباديل (جمع التبديل)[1] عدد التشكيلات الممكنة لمجموعة جزئية من العناصر منتقاة من مجموعة كلية من العناصر مع مراعاة لأهمية تسلسل العناصر في تشكيلات المجموعة الجزئية.

و(p(n، k عدد التباديل،أي مجموع الكيفيات التي يمكن أن ننتقي بها أفراد المجموعة مع مراعاة الترتيب.

  • n : عدد أفراد المجموعة التي يراد ترتيبها.
  • k: يرمز إلى كيفية اخذ أفراد المجموعة.

التاريخ[عدل]

كانت القاعدة التي تمكن من حساب عدد التبديلات لمجموعة ما، معروفة لدى الهنديين على الأقل في حوالي عام 1150م.

التباديل[عدل]

إذا كان عدد عناصر المجموعة الجزئية(r) مساويا لعدد عناصر المجموعة الكلية(n), تدعى التراتيب في هذة الحالة بالتباديل وتعرف رياضيا كما يلي: ل(n)=ت(n، n)= n!/0!= n!=n×(n-1)×(n-2)×(n-3)×(n-4)×.......×3×2×1 حيث من المعلوم أن 0! = 1.

مثال[عدل]

يراد سحب كرتين على التوالي من صندوق أسود يحوي أربع كرات ملونة سوداء وزرقاء وحمراء وصفراء. المطلوب حساب عدد الاحتمالات الممكنة لنتيجة السحب.

كون السحب يتم على التتالي فان هناك أهمية للترتيب لانه إذا كانت الكرة الأولى على سبيل المثال سوداء والثانية حمراء هذه النتيجة تختلف عن الحالة التي يكون فيها الكرة الأولى حمراء والثانية سوداء. بتطبيق القانون نحصل على عدد الاحتمالات الممكنة ت(2,4)=4!\(4-2)!=4×3×2×1 /2×1 = 12 احتمال ممكن و هي بالتفصيل كالتالي: (سوداء، حمراء) (حمراء,سوداء) (زرقاء,سوداء) (صفراء,سوداء) (سوداء، زرقاء) (حمراء، زرقاء) (زرقاء، حمراء) (صفراء، حمراء) (سوداء، صفراء) (حمراء، صفراء) (زرقاء، صفراء) (صفراء، زرقاء).

تعميمات[عدل]

يستعمل مفهوم التبديلات في السياقات التالية :

في نظرية الزمر[عدل]

في نظرية الزمر والمواضيع المتعلقة بها، تدرس التبديلات على المجموعات أيا كانت طبيعتها، بما في ذلك المجموعات غير المنتهية. تبديل لمجموعة ما يرمز إليها ب S، هي تقابل من S إلى S نفسها.

في التوافقيات[عدل]

عدد إمكانات ترتيب k عنصر منتقاة من n عنصر بشرط الترتيب وعدم تكرار نفس العنصر في التشكيل. رياضيا تحسب التباديل وفقا للعلاقة التالية: p(n، k)=n!\(n-k)! حيث {n!} تعني n عاملي.


n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-k+1)

التبديلات في نظرية الزمر[عدل]

الرموز المستعملة[عدل]

هناك ثلاثة رموز مستعملة أساسية للتعبير عن تبديلات مجموعة منتهية ما. أولها استعمال سطرين اثنين، الأول يحتوي على عناصر المجموعة والثاني يحتوي على صور هاته العناصر بالتبديل. على سبيل المثال، يمكن اعتبار التبديل التالي للمجموعة {1،2،3،4،5} كما يلي :

\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{pmatrix};

وهذا يعني أن σ تحقق ما يلي : σ(1)=2 و σ(2)=5 و σ(3)=4 و σ(4)=3 و σ(5)=1.

أما ثاني هاته الرموز المستعملة فيتمثل في إعطاء السطر الثاني فقط للتبديلة. هكذا، المثال السابق يعطي 25431 (قد توضع فاصلات بيت هاته الأعداد وخصوصا إذا كانت تحوي أزيد من رقم واحد).

أما الاستعمال الثالث فهو الترميز الدائري.

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

الجداء والمقلوب[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ التبديل اسم ومصدر، ويقال التبديلة لبيان أن المقصود هو الاسم.
Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.