جبر

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مفهوم رياضي
المسمى العربي علم الجبر
المسمى اللاتيني غير معرف
الرمز العربي غير معرف
الرمز اللاتيني

إيفاريست جالويس-محمد بن موسى الخورازمي

رياضيون نظرية الزمر-نظرية المجال-نظرية الحلقة
نظريات ومسلمات
كتب ومراجع {{{7}}}

الجَبْر كلمة عربية وهو فرع من علم الرياضيات وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي (الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) الذي قدم العمليات الجبرية التي تنظم إيجاد حلول للمعادلات الخطية والتربيعية.

ويشكل علم الجبر أحد الفروع الثلاثة الأساسية في الرياضيات إضافة إلى الهندسة الرياضية والتحليل الرياضي ونظرية الأعداد والتباديل والتوافيق. ويهتم هذا العلم بدراسة البنى الجبرية والتماثلات بينها، والعلاقات والكميات.

والجبر هو مفهوم أوسع وأشمل من الحساب أو الجبر الابتدائي. فهو لا يتعامل مع الأرقام فحسب، بل يصيغ التعاملات مع الرموز والمتغيرات والفئات كذلك. ويصيغ الجبر البدهيات والعلاقات التي بواسطتها يمكن تمثيل أي ظاهرة في الكون. ولذا يعتبر من الأساسيات المنظمة لطرق البرهان.

تصنيف[عدل]

يقسم علم الجبر لعدة فروع.

  • الجبر الابتدائي، وفيه يتم دراسة خصائص الأعداد الحقيقية، وتستخدم رموز للتعبير عن المتغيرات والثوابت، وتتم دراسة القواعد التي تضبط المعادلات والتعابير الرياضية المكونة من هذه الرموز. ويتم تدريسه غالبا في التعليم الثانوي إضافة إلى إعطاء أفكار أساسية حول بقية مواضيع الجبر التجريدي في الجبر الابتدائي تتم دراسة جمع وضرب الأعداد، ودراسة كثيرات الحدود وطرق إيجاد الجذور لكثيرات الحدود هذه.
  • الجبر الخطى، وهو مهتم بدراسة المتجهات، الفراغات الخطية، التحويلات الخطية، ونظم المعادلات الخطية. تعتبر فراغات المتجهات موضوعا مركزيا في الرياضيات الحديثة؛ لذا يعتبر الجبر الخطي كثير الاستعمال في كلا من الجبر المجرد والتحليل الدالي. الجبر الخطي له أيضاً أهمية قصوى في الهندسة التحليلية كما أن له تطبيقات شاملة في العلوم الطبيعة والعلوم الاجتماعية.
  • جبر الأعداد، وهو يهتم بدراسة خواص الأعداد من الناحية النظرية.

الجبر الابتدائى[عدل]

الجبر الابتدائي هو أبسط أنواع الجبر الذي يتم تدريسه لطلاب الرياضيات المفترض محدودية معرفتهم برياضيات ما بعد الأعداد. يشكل هذا الفرع من الجبر الذي يتعامل مع كثيرات الحدود والمعادلات وطرق إيجاد جذور المعادلات وطرق حلها. ويعتمد الجبر الابتدائي على عمليتين أساسيتين هما الجمع والضرب. لكل من هاتين العمليتين عملية معاكسة. العملية المعاكسة للجمع هي الطرح. والعملية المعاكسة للضرب هي القسمة. يعتمد الجبر الابتدائي أيضا على رقمين بالغى الأهمية هما الصفر والواحد. يدعى الصفر بالمحايد الجمعى والواحد بالمحايد الضربى. يعتبر الواحد أيضا المولد الأساسي للجبر الابتدائي.

وتعرف عملية الجمع بتكرار جمع الرقم واحد والذي يغير النتيجة إلى الرقم التالي. أي رقم مجموع عليه واحد يساوى الرقم الذي يليه

1 + 1 = 2 \, و
2 + 1 = 3 \, ومنها

أي رقم مجموع مع أي رقم آخر يتم تحليل أحدهما لمجموع الآحاد كما يلى

2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 3 + 1 = 4 \, وكذلك
2 + 3 = 2 + 1 + 1 + 1 = 3 + 1 + 1 = 4 + 1 = 5 \, وهكذا.

بينما تعرف عملية الضرب بتكرار الجمع. فمثلا

 5 \times 2 = 5 + 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 \,

وهكذا.

وتحقق كلتا العمليتان خواص الابدال والتجميع ويحقق الضرب وحده خاصية التوزيع على الجمع.

كثيرات الحدود[عدل]

كثيرة الحدود هي دالة رياضية أو تركيب جبري تتكوّن من إحدى أو كثرة من الثوابت والمتغيرات، يتم بناءها باستخدام العمليات الأربعة الأساسية فقط: الجمع والطرح والضرب والقسمة.

 p(x)= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+... + a_1 x + a_0\,

وتحقق كثيرات الحدود خاصيتي الاتصال بمعنى أنها تحقق قيمة p(x)\, لكل x\, والقابلية للتفاضل أي توجد لها مشتقات من جميع الرتب عند جميع النقاط.

معادلات كثيرة الحدود ومعادلات جبرية[عدل]

ولا تزال كثيرات الحدود تلعب دور في الجبر عندما تــُــناقــَـش المساواة \mathcal {}p(x)=0 أي المعادلات كثيرة الحدود ، وهي صنف من المعادلات الجبرية . ومعظم المشاكل التي تـُـناقـَـش من المعادلات الجبرية في الحاضر ما بقت تكون بسيطة ؛ بل تـُـناقش بأسلوب الجبر التجريدي ؛ ومن ضمنها معادلات ديوفانطس وغير تلك .

الجبر الشامل[عدل]

من وجهة نظر الجبر الشامل، الجبر أو الجبر التجريدي هو مجموعة A\, مزودة بجموعة من العمليات على A\,. نقول أن هناك عملية نونية (من الرتبة نون) معرفة على A\, تمثل دالة رياضية تأخذ n\, عنصر من المجموعة A\, وتعطي كنتيجة عنصرا وحيدا من A\,.

لذلك فإن العملية اللاشيئية حيث n=0\, يمكن أن تمثل عنصرا وحيدا من A\, أو ما يدعى بالثابت غالبا يرمز له بحرف مثل a\,.

بالمقابل العملية الأحادية (حيث n=1\,) ببساطة عبارة عن دالة من A\, إلى A\, يمثل غالبا برمز يوضع أمام مدخل العملية كأن نقول ~a\,. أما العملية الثنائية تمثل برمز يكتب بين مدخلي العملية: a*b\,.

العمليات من رتب أعلى غالبا ما تمثل بشكل رمز دالة والمدخلات توجد ضمن قوسين: f(x, y, z)\, أو f(x_1,..., x_n).

يعمد بعض الرياضيين أيضا إلى تعريف عمليات لامنتهية (حيث n=\infty\,) مثل \bigwedge_{\alpha} x_\alpha، التي تسمح بدراسة نظرية جبرية للمشابك الكاملة.

يمكن أن ننظر للجبر الشامل على أنه فرع خاص من نظرية النموذج نتعامل فيها مع البنى التي تملك عمليات فقط (أي دون علاقات)،يتم فيها الحديث عن بنى تستخدم معادلات فقط.

كائنات جبرية[عدل]

تستخدم كلمة الجبر مع أنواع عديدة من البنى الجبرية :

اقرأ أيضا[عدل]

مصادر[عدل]

وصلات خارجية[عدل]