تكامل معتل

النوع الأول من التكامل المعتل, حالة الفترة غير المحدودة.

النوع الثاني من التكامل المعتل, حالة الدالة غير المحدودة.

مواضيع في الحسبان

المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة حسبان تفاضلي  اشتقاق تغير المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد: قاعدة القوة، قاعدة الضرب، قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل حسبان تكاملي  تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة التكامل بواسطة: التجزيء، الأقراص، الطبقات الأسطوانية، التعويض، التعويضات المثلثية، الكسور الجزئية، تغيير الرتب حسبان المتجهات  تدرج تباعد التواء لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس مبرهنة التباعد حسبان متعدد المتغيرات  حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي

الصيغة الأساسية بأن يكون على أحد الشكلين التاليين:

$\lim_{b\to\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x, \qquad \lim_{a\to -\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x,$

أو

$\lim_{c\to b^-} \int_a^cf(x)\, \mathrm{d}x,\quad \lim_{c\to a^+} \int_c^bf(x)\, \mathrm{d}x,$

التكامل المعتل حالة الفترة غير المحدودة

إذا كان لدينا تكامل الدالة $1/{x^2}$ على الفترة [1, ∞) وهي فتره غير محدوده, فهذا يكون تكامل معتل, ونستخدم الطريقه التاليه لحله

$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x=\lim_{b\to\infty} \int_1^b\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \lim_{b\to\infty} \left(-\frac{1}{b} + \frac{1}{1}\right) = 1.$

نستخدم Lim أو نهاية b إلى مالا نهايه , ونحول فترة التكامل من 1 الى b ونكامل بالطريقه العاديه وفي حال كانت الإجابة رقم ثابت فهو تكامل تقاربي, أما إن كانت الإجابه موجب أو سالب مالا نهايه فالتكامل تباعدي.

حالة فترة غير المحدودة (-∞,∞)

لدينا تكامل معتل على الفترة (-∞,∞)

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{d}x$

نقوم بتجزيئة إلى فترتين (-∞,0) و (0,∞) لينتج لدينا تكاملين منفصلين لنفس الداله

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^0f(x)\, \mathrm{d}x + \int_0^\infty f(x) \, \mathrm{d}x$

ثم نستخدم طريقة حل التكامل المعتل لكل فترة على حده

$\lim_{a\to -\infty}\int_a^0f(x)\, \mathrm{d}x + \lim_{b\to \infty} \int_0^b f(x) \, \mathrm{d}x$ =

التكامل المعتل حالة الدالة غير المحدوده

بإعتبار c هو عدد ثابت تكون الداله غير معرفه عنده

$\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x\,$

يكون حل التكامل على الشكل

$\lim_{b\to c^-}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\,$

مثال

لدينا 0 هنا هو c في الشرح السابق حيث تكون الداله غير معرفه عنده 0

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=\lim_{a\to 0^+}\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\, \mathrm{d}x = \lim_{a\to 0^+}(2\sqrt{1}-2\sqrt{a})=2.$

ونلاحظ علامة + فوق الصفر, لأن التكامل غير معرف عند او تحت الصفر ولكنه معرف عند اي رقم آخر أكبر من 0

مصادر

راجع كتاب مبادئ التفاضل والتكامل الجزء الثاني, د.صالح السنوسي وآخرون, جامعة الملك سعود بالرياض, دار الخريجي للنشر والتوزيع