تكامل معتل

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
النوع الأول من التكامل المعتل, حالة الفترة غير المحدودة.
النوع الثاني من التكامل المعتل, حالة الدالة غير المحدودة.
مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة

الصيغة الأساسية بأن يكون على أحد الشكلين التاليين:

\lim_{b\to\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x, \qquad \lim_{a\to -\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x,

أو

\lim_{c\to b^-} \int_a^cf(x)\, \mathrm{d}x,\quad
\lim_{c\to a^+} \int_c^bf(x)\, \mathrm{d}x,

التكامل المعتل حالة الفترة غير المحدودة[عدل]

إذا كان لدينا تكامل الدالة 1/{x^2} على الفترة [1, ∞) وهي فتره غير محدوده, فهذا يكون تكامل معتل, ونستخدم الطريقه التاليه لحله

\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x=\lim_{b\to\infty} \int_1^b\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \lim_{b\to\infty} \left(-\frac{1}{b} + \frac{1}{1}\right) = 1.

نستخدم Lim أو نهاية b إلى مالا نهايه , ونحول فترة التكامل من 1 إلى b ونكامل بالطريقه العاديه وفي حال كانت الإجابة رقم ثابت فهو تكامل تقاربي, أما إن كانت الإجابه موجب أو سالب مالا نهايه فالتكامل تباعدي.

حالة فترة غير المحدودة (-∞,∞)[عدل]

لدينا تكامل معتل على الفترة (-∞,∞)

\int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{d}x

نقوم بتجزيئة إلى فترتين (-∞,0) و (0,∞) لينتج لدينا تكاملين منفصلين لنفس الداله

\int_{-\infty}^\infty f(x)\, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^0f(x)\, \mathrm{d}x + \int_0^\infty f(x) \, \mathrm{d}x

ثم نستخدم طريقة حل التكامل المعتل لكل فترة على حده

\lim_{a\to -\infty}\int_a^0f(x)\, \mathrm{d}x + \lim_{b\to \infty} \int_0^b f(x) \, \mathrm{d}x =

التكامل المعتل حالة الدالة غير المحدوده[عدل]

بإعتبار c هو عدد ثابت تكون الداله غير معرفه عنده

\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x\,

يكون حل التكامل على الشكل

\lim_{b\to c^-}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\,

مثال

لدينا 0 هنا هو c في الشرح السابق حيث تكون الداله غير معرفه عنده 0

\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=\lim_{a\to 0^+}\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\, \mathrm{d}x = \lim_{a\to 0^+}(2\sqrt{1}-2\sqrt{a})=2.

ونلاحظ علامة + فوق الصفر, لأن التكامل غير معرف عند او تحت الصفر ولكنه معرف عند اي رقم آخر أكبر من 0

مصادر[عدل]

راجع كتاب مبادئ التفاضل والتكامل الجزء الثاني, د.صالح السنوسي وآخرون, جامعة الملك سعود بالرياض, دار الخريجي للنشر والتوزيع