المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة
هذه الصورة توضح كيفية تقسيم السطح تحت المنحني إلى أجزاء مستطيلة لحساب مجموع الأجزاء.

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تربط بين عملتي التفاضل والتكامل.

الجزء الأول من النظرية ينص على أن التكامل المحدد يمكن عكسه بالتفاضل. الجزء الثاني من النظرية يمكن الشخص من حساب تكامل محدد لدالة باستخدام أحد اشتقاقاتها العكسية الغير محدودة كثرة. هذا الجزء من النظرية له أهمية كبيرة عمليا لأنه يسهل حساب التكاملات المحددة بشكل كبير.

الصيغ الأساسية[عدل]

تقول المبرهنة :

I.

لتكن f دالة حقيقية مستمرة معرفة على مجال مغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة للمتغير x ضمن المجال [a, b] فإن
F(x) = \int_a^x f(t)\, dt

عندئذ :

F'(x) = f(x)\,
من أجل كل قيمة ل x في (a, b).


II.

لتكن f دالة حقيقية معرفة على المجال المغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة بحيث تحقق
f(x) = F'(x)\, أيا كانت قيمة x ضمن المجال (a, b)عندئذ :
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a).

النتيجة[عدل]

لتكن f دالة حقيقية معرفة على المجال المغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة بحيث تحقق

f(x) = F'(x)\, أيا كانت قيمة x ضمن المجال (a, b)

عندئذ

F(x) = \int_a^x f(t) dt + F(a)

و

f(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt.