المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل

مواضيع في الحسبان

المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة حسبان تفاضلي  اشتقاق تغير المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد: قاعدة القوة، قاعدة الضرب، قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل حسبان تكاملي  تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة التكامل بواسطة: التجزيء، الأقراص، الطبقات الأسطوانية، التعويض، التعويضات المثلثية، الكسور الجزئية، تغيير الرتب حسبان المتجهات  تدرج تباعد التواء لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس مبرهنة التباعد حسبان متعدد المتغيرات  حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي

هذه الصورة توضح كيفية تقسيم السطح تحت المنحني إلى أجزاء مستطيلة لحساب مجموع الأجزاء.

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تربط بين عملتي التفاضل والتكامل.

الجزء الأول من النظرية ينص على أن التكامل المحدد يمكن عكسه بالتفاضل. الجزء الثاني من النظرية يمكن الشخص من حساب تكامل محدد لدالة باستخدام أحد اشتقاقاتها العكسية الغير محدودة كثرة. هذا الجزء من النظرية له أهمية كبيرة عمليا لأنه يسهل حساب التكاملات المحددة بشكل كبير.

الصيغ الأساسية

تقول المبرهنة :

I.

لتكن f دالة حقيقية مستمرة معرفة على مجال مغلق [a, b]. إذا كان F دالة معرفة للمتغير x ضمن المجال [a, b] فإن

$F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$

عندئذ :

$F'(x) = f(x)\,$

من أجل كل قيمة ل x في [a, b].

II.

لتكن f دالة حقيقية معرفة على المجال المغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة بحيث تحقق

$f(x) = F'(x)\,$ أيا كانت قيمة x ضمن المجال [a, b]

عندئذ :

$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.

النتيجة

لتكن f دالة حقيقية معرفة على المجال المغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة بحيث تحقق

$f(x) = F'(x)\,$ أيا كانت قيمة x ضمن المجال [a, b]

عندئذ

$F(x) = \int_a^x f(t) dt + F(a)$

و

$f(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt$.