نهاية دالة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة
x \frac{\sin x}{x}
1 0.841471
0.1 0.998334
0.01 0.999983

تقترب ‎(sin x)/x من 1 كلما اقتربت x من الصفر. نقول "نهاية ‎(sin x)/x تساوي 1، مع اقتراب x من الصفر." وإن كانت الدالة ‎(sin x)/x غير محددة في الصفر.

تعتبر نهاية دالة إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وبشكل عام يمكن القول أن :

للدالة f نهاية L عند النقطة p. مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة f تقترب بشكل كبير من القيمة L عند النقاط القريبة من p أو عندما يقترب المتغير المستقل x بشكل كبير من p.

نقول أن للدالة "f" نهاية في "L" إذا وجدت قيمة صغيرة "ε>0 "ε حيث f-L|<ε|.

التاريخ[عدل]

انظر إلى برنارد بولزانو.

تعريفات[عدل]

يكون العدد الحقيقى b نهاية الدالة (f(x عندما تؤول x إلى a إذا وُجد لكل عدد 0 <ε, عدد ઠ (يعتمد عادة على ε) حيث ان لكل x تنتمى G وتحقق العلاقة ઠ> |x-a|> 0 تستلزم أن العلاقة |ε> |f(x) - b تكون متحققة.

وبتعبير آخر، إذا كانت b هي نهاية دالة ما عند النقطة a فإن هذا يستلزم أن تكون قيم الدالة قريبة جدا من العدد b عندما تكون قيم x قريبة قربا كافيا من a.

لتكن A\sub\mathbb{R}, النقطة c هي نقطة تراكم (cluster point)لـ A إذا توفر ما يلي:
لكل \delta>0 يوجد على الأقل نقطة واحدة x\in\mathbb{A} حيث. |x-y|<\delta.

لتكن A\sub\mathbb{R}, و c نقطة تراكم لـ A ,للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد \delta>0 بحيث إذا كانت x\in\mathbb{A} و 0<|x-c|<\delta إذاً |f(z)-L|<\epsilon.

العلاقة بالاتصال[عدل]

خصائص[عدل]

قاعدة التسلسل[عدل]

\lim_{y \to d} f(y) = e, و\lim_{x \to c} g(x) = d \Rightarrow \lim_{x \to c} f(g(x)) = e

غير صحيحة. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين : أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد \delta>0 حيث إذا توفر 0<|x-c|<\delta فإن |g(x)-d|>0).

قاعدة لوبيتال[عدل]

الجمع والتكامل[عدل]

[1][2]

نظرية

العدد A\sub\mathbb{R} هو نقطة تراكم للمجموعة A الجزئية من R إذا وفقط إذا وجدت متتابعة \left(a_n\right) في A بحيث \lim_{n\to\infty}a_n=c و ,∀n∈N a_n \ne c
.

مثال:

الفترة المفتوحةA_1=\left(0,1\right) كل نقطة في الفترة المغلقة [0,1] هي نقطة تراكم لـA_1. النقاط 0,1 هي نقاط تراكم لـ \left(A_1\right) لكنها لا تنتمي إلى

\left(A_1\right). كل النقاط في \left(A_1\right) هي نقاط تراكم ل \left(A_1\right)
  1. المجموعة المنتهية ليس لديها نقاط تراكم
  2. المجموعة غير المنتهية N ليس لديها نقاط تراكم

نظرية

إذا كانت الدالة f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً f لها نهاية واحدة (وحيدة) إلى c

نظرية

لتكن f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً العبارات التالية متكافئة :

\lim_{x\to\mathbf{c}}f(x)=L إذا أعطي \epsilon جوار لـL

\mathbf{V}_\epsilon\left(L\right) يوجد\delta  جوار لـ c 
 \mathbf{V}_\delta\left(C\right) بحيث x≠c هي أي نقطة في \mathbf{V}_\epsilon\left(C\right)\cap\mathbf{A} إذاًf(x)\in\mathbf{V}_\epsilon\left(L\right)

أمثلة[عدل]

1) \lim_{x\to\mathbf{c}}b=b

الحل

أفترض f(x)=b,, لكلx\in\mathbb{R}, نريد إثبات أن \lim_{x\to\mathbf{c}}f(x)=b ،وإذا كان \epsilon>o,, نفترض \delta=1.

(في الحقيقة في أي \delta موجبة ستكون كافية للغرض" أي اي عدد موجب سيكون مقبول"),,

إذا 0<|x-c|<1 , ((الواحد تعويض عن \delta)) لدينا |f(x)-b|=|b-b|=0<\epsilon وبما أن \epsilon>0أجراء تعسفي (إجباري) , نستنتج من تعريف النهاية أن \lim_{x\to\mathbf{c}}f(x)=b

2) \lim_{x\to\mathbf{c}}x=b

الحل :

لتكن g(x)=x ,لكل x\in\mathbb{R} , إذا كان\epsilon>0 نختار \delta_\left(\epsilon\right)=\epsilon إذاًو إذا كانت

0<|x-c|<\delta_\left(\epsilon\right), يكون لدينا |g(x)-c|=|x-c|<\epsilon, بما أن \epsilon>0, نستنتج أن \lim_{x\to\mathbf{c}}g=c

مما يعني أن \lim_{x\to\mathbf{c}}x=c

معيار المتتابعات للنهايات[عدل]

نظرية [معيار المتتابعة[عدل]

إذا كانت f:A→R ولنفرض أن c نقطة تراكم لـA إذا تحقق 1و2 فإنهما متكافئتان:

1/ صورة المتتابعة تحت تأثير الدالة A تؤدي إلى L

\left(\lim_{x\to\mathbf{c}}f=L\right)

2/ لكل متتابعة \left(x_n\right) في A تتقارب إلى c بحيث x_n\ne c لكل n\in\mathbb{N} , المتتابعه

\left(x_n\right) تتقارب إلى L

معيار التباعد[عدل]

لنفرض أن A\sub\mathbb{R} ولنفرض أن f:A→R أن C نقطة تراكم

1/ إذا كانت l\in\mathbb{R} ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة  x_n في A وx_n\ne c
لكل n\in\mathbb{N} بحيث المتتابعة  x_n تتقارب إلى c لكن المتتابعة

\left(f\left(x_n\right)\right) لا تتقارب إلى L

2/الدالة f ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة  x_n في A و

x_n\ne c لكل n\in\mathbb{N} بحيث المتتابعة  x_n تتقارب إلى c لكن المتتابعة.

\left(f\left(x_n\right)\right) ليست تقاربية في R

أمثلة[عدل]

1/ \lim_{x\rightarrow 0 }\left(\frac{1}{x}\right) غير موجودة

الحل

نفرض أن \varphi\left(x\right)=\frac{1}{x} إذا كانت x>0 سنعتبر c=0 إذا أخذنا المتتابعة لـ\left(x_n\right) حيث n\in\mathbb{N} , x_n=\frac{1}{x} هذا سيؤدي إلى أن \lim_{x\rightarrow 0 }x_n=0 لكن \left(x_n\right)=\frac{1}{\frac{1}{n}}=n وكما نعلم أن المتتابعة \left(\varphi\left(x_n\right)\right)=n ليست تقاربية في R حيث أنها ليست محدودة بالتالي حسب نظرية معيار التباعد فإن \lim_{x\rightarrow 0 }\frac{1}{x} غير موجودة.

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ "INTRODUCTION TO REAL ANALYSIS", Robert G. Bartle Donald R. Sherbert, Fourth Edition, John Wiley & Sons,2011
  2. ^ نهايات الدوال

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.