مبرهنة رول

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
تمثيل مبياني للنظرية

في التفاضل والتكامل، تنص مبرهنة رول على أن كل دالة قيمها أعداد حقيقية وقابلة للاشتقاق، والتي تتساوى قيمتها عند نقطتين اثنتين مختلفتين، فإن لهذه الدالة نقطة ما بينهما حيث تكون قيمة اشتقاق الدالة مساويا للصفر.

إذا كانت f \; دالة تخقق الشروط الاتية لأجل عددين حقيقين a وb مع a < b \;

  • الدالة متصلة في المجال المغلق
  • الدالة قابلة للاشتقاق في المجال المفتوح (a,b)
  • f(a)=f(b)

فانه يوجد عنصر c حقيقي ضمن [a,b]\; بحيث ان f'(c)=0 \;.

الصيغة الرسمية للمبرهنة[عدل]

التاريخ[عدل]

أول برهان رسمي معروف لهذه المبرهنة يعود إلى ميشيل رول. كان ذلك في عام 1691

أمثلة[عدل]

المثال الأول[عدل]

نصف دائرة شعاعها يساوي r.

ليكن r عددا موجبا ولتكن الدالة التالية:

f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r].

المثال الثاني[عدل]

الرسم البياني لدالة القيمة المطلقة.


f(x) = |x|,\qquad x\in[-1,1].

تعميمات[عدل]

برهان الصيغة المعممة[عدل]

تعميم لدرجات اشتقاق أعلى[عدل]

برهان[عدل]

وجود القيمة r يعني أن هناك قيمة قصوى أو دنيا. نفترض f موجبة في (أ، ب).

في هذه الحالة يكون للدالة f على الأقل قيمة قصوية.

إذا افترضنا أنه لا توجد القيمة r، وf(a) = 0 وf موجبة. فهذا يعني أن الدالة f متزايدة أي أن f(b)#0 وهذا يتناقض مع f(b)=0.

تعميمات لحقول أخرى[عدل]

انظر أيضاً[عدل]

مراجع[عدل]

  • نظرية رول [1]

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.