دالة تكعيبية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مخطط الدالة التكعيبية، جذور الدالة هي عند تقاطع المخطط مع محور السينات x.

في الرياضيات، الدالة التكعيبية هي دالة رياضية لها الشكل التالي:

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\,

حيث a لا يساوي الصفر. أو هي متعددة حدود من الدرجة الثالثة.

مشتق الدالة التكعيبية هي دالة تربيعية، وتكامل الدالة التكعيبية هي دالة من الدرجة الرابعة.

إذا كان f(x)=0\, يصبح لدينا "معادلة تكعيبية" أو معادلة من الدرجة الثالثة :

ax^3+bx^2+cx+d=0\,

حيث :a\ne 0\, . إذا كانت a = 0, فتصبح معادلة تربيعية. أما إذا كان a و b مساويين للصفر, فإن المعادلة تصير خطية. عادة، تكونa,b,c,d\, أعدادا صحيحة.

جذور المعادلة[عدل]

حل المعادلة التكعيبية يعنى ايجاد الجذر التكعيبي للدالة التكعيبية وهو ليس بالأمر السهل كما في معادلة الدرجة الثانية. يمكن إثبات القانون العام لجذور معادلة الدرجة الثالثة إما باستخدام صيغة غاردان أو الإثبات العكسي (بضرب الجذور الثلاثة في بعضها):

القانون العام للجذور[عدل]

تعطى الصيغة العامة لجذور معادلة الدرجة الثالثة، ا س٣ + ب س٢+ حـ س + د =٠ ، a x^3 + b x^2 + c x + d = 0\, بدلالة معاملاتها a,b,c,d\, كما يلي:

\begin{align}
x_1 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
x_2 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
x_3 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}
\end{align}

صيغة غاردان[عدل]

كان غاردان عالما رياضيا, فيزيائيا وفلكيا وقد استطاع أن ينشر هذه الصيغة في كتابه عام 1545م. كانت الطريقة تقتضي الاتي:

  • أولا تبسيط المعادلة القياسية لتصبح على الشكل
x^3 + ax^2 + bx +c =0 \qquad (1).
  • ثم التخلص من معامل الدرجة الثانية باستخدام التعويض المناسب x = t - a/3\, لتصبح المعادلة بالشكل الجديد:
 t^3 + pt + q = 0\, \qquad (2)

حيث

p = b - \frac{a^2}3 \qquad \mbox{and} \qquad q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}.
  • وبتعويض مناسب :u+v=t\, في المعادلة (2) يمكن الحصول على:
 u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \qquad (3)\,.
  • وهنا افترض غاردان حدا جديدا للمتغيرات u وv بحيث  3uv+p=0\,
  • عند دمج هذه في (3) بتعويض v نحصل على:
 u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0\,.
  • يمكن ملاحظة أن هذه معادلة من الدرجة السادسة التي يمكن أن تبسط إلى الدرجة الثانية في u3 وتحل مباشرة لتصبح:
 u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}
وبالتالي:
 u=\sqrt[3]{-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} \qquad (4)
  • ولما كانت t == v + u, t = x + a/3, وv == −p/3u, نجد أن:
x=-\frac{p}{3u}+u-{a\over 3}.

لاحظ أنه يوجد 6 احتمالات لحساب u في(4), وذلك لأن الجذر التربيعي يحمل احتمالين (\pm\,) والجذور ثلاثة. ولكن الجذر التربيعي ليس له تأثير على القيمة الناتجة t (ومع ذلك يجب الانتباه للحالات الثلاث لتجنب القسمة على صفر):

أولا, إذا كانت p = q = 0, فإنه لدينا ثلاثة جذور حقيقية
t=0.\,
ثانيا, إذا كانت p = 0 وq ≠ 0, فإن:
u=0 \text{ and } v =  -\sqrt[3]{q}.
ثالثا أذا كانت p ≠ 0 وq = 0 فإن:
u=\sqrt{{p\over 3}} \qquad \mbox{and} \qquad  v=-\sqrt{{p\over 3}},
وفي أي من الحالات تكون الجذور الثلاثة هي:
t=u+v=0 , \qquad t=\omega_1u-{p\over 3\omega_1u}=\sqrt{-p}, \qquad t={u\over  \omega_1}-{\omega_1p\over 3u}=-\sqrt{-p} ,
حيث
\omega_1=e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

الخلاصة[عدل]

من أجل حل المعادلة التكعيبية

x^3 + ax^2 + bx + c = 0\

تعطى جذور x بالشكل:

x = u - {p \over 3u} - {a \over 3}

حيث

p = b - {a^2 \over 3}
q = c + {2a^3 - 9ab \over 27}
u = \sqrt[3]{-{q \over 2} \pm \sqrt{{q^2 \over 4} + {p^3 \over 27}}}

انظر إيضا[عدل]

وصلات خارجية[عدل]