متعددة الحدود

في الرياضيات، متعددة الحدود أو كثيرة الحدود هو تركيب جبري يتكون من واحد أو أكثر من الثوابت والمتغيرات، يتم بناؤه باستخدام عمليات الجمع والطرح والضرب والأسس الصحيحة غيرالسالبة. على سبيل المثال، x² − x/4 + 7 هي متعددة للحدود, بينما x² − 4/x + 7x^3/2 ليست بمتعددة للحدود, لأن الحد الثاني يتضمن قسمة على المتغير x, (أي 4/x), ولأن أيضا الحد الثالث يحتوي على أُس ليس بعدد صحيح طبيعي (3/2).

تترجم كلمة متعددة الحدود, إلى اللغة الإنجليزية على سبيل المثال، بكلمة Polynomial. تتكون هاته الكلمة من جزئين هما Poly و nomial. أما كلمة Poly فهي إغريقية الأصل وتعني متعدد, و nomial هي لاتينية الأصل. أول من أدخل هذا المصطلح المركب إلى اللغة اللاتينية هو فرانسوا فييت.

$\mathcal {}p(x)= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+... + a_1 x + a_0$

كثيرة الحدود هي عبارة عن دالة رياضية أو تركيب جبري بسيط وأملس.

بسيط بمعنى إنه لا يحوي من عمليات سوى الضرب والجمع وأملس بمعنى أنه قابل للمفاضلة بلا حدود أي أنه يملك مشتقات من جميع الرتب في جميع النقاط.

كثيرة الحدود في الدرجة $\mathcal {}n$ لها على الأكثر منها اصفار حقيقية ؛ ومعها يكون $\mathcal {}n$ الاس لاول الثابت الذي نطرياً يسمح اِختياره بالتعسف في كثيرة الحدود.

نظرة عامة

على سبيل المثال، الصيغة التالية تبين معددة حدود.

$\underbrace{_\,3x^2}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{1}\end{smallmatrix}} \underbrace{-_\,5x}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{2}\end{smallmatrix}} \underbrace{+_\,4}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{3}\end{smallmatrix}}.$

لها ثلاثة حدود:الأول من الدرجة الثانية والثاني من الدرجة الأولى والثالث من الدرجة الصفر.

قانون التبادلية المطبق على عملية الجمع يمكن من كتابة هاته الحدود الثلاث في أي ترتيب كان.

المعادلات الحدودية

مقال تفصيلي :معادلة جبرية

التاريخ

إيجاد جذور متعددة ما للحدود، أو ما قد يسمى حلحلة المعادلات الجبرية هو واحد من المعضلات الرياضية الأكثر قدما. ولكن الرموز البسيطة الاستعمال والأنيقة المستعملة حاليا لم تتطور إلا في القرن الخامس عشر. قبل ذلك، كانت المعادلات تُكتب بالكلمات.

الرموز المستعملة

مقال تفصيلي :تاريخ الرموز المستعملة في الرياضيات

أول استعمال لرمز التساوي (=) يعود إلى روبرت غيكوغد في كتاب له. كان ذلك عام 1557.

مخططات

• 

  متعددة حدود من الدرجة الثانية:
  f(x) = x² - x - 2 = (x+1)(x-2)

• 

  متعددة حدود من الدرجة الثالثة:
  f(x) = x³/4 + 3x²/4 - 3x/2 - 2 = 1/4 (x+4)(x+1)(x-2)

• 

  متعددة حدود من الدرجة الرابعة:
  f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5

• 

  متعددة حدود من الدرجة الخامسة:
  f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2

• 

  متعددة حدود من الدرجة السادسة:
  f(x) = 1/30 (x+3.5)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)(x-4) + 2

• 

  متعددة حدود من الدرجة السابعة:
  f(x) = (x-3)(x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2)(x+3)

متعددات الحدود والحساب

مقال تفصيلي :حسبان بمتعددات الحدود

الجبر التجريدي

مقال تفصيلي :حلقة متعددات الحدود

التصنيف

عدد المتغيرات

من أجل تصنيف متعددات الحدود، يمكن النظر إلى عدد المتغيرات الموجودة في الحدودية. تسمى متعددة الحدود ذات متغير واحد متعددة حدود أحادية المتغير.

الدرجة

مقال تفصيلي :درجة متعددة الحدود

تتمثل الطريقة الثانية لتصنيف متعددات الحدود في النظر إلى درجاتها. على سبيل المثال، في متعددة الحدود $x^2 + 2x + 1$, الحد $2x$ هو حد من الدرجة الأولى في متعددة حدود من الدرجة الثانية.

انظر أيضا

• قسمة كثيرات الحدود
• تحليل الحدوديات من خلال التجميع وأخذ العامل المشترك
• طريقة لِيل
• لائحة المواضيع المتعلقة بمتعددات الحدود
• متسلسلة قوى