حقل (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من حقل رياضي)
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الجبر التجريدي، حقل (بالإنجليزية: Field) أو جسم (بالفرنسية: corps) هو حلقة تبادلية مختلفة عن الحلقة المنعدمة، تحتوي على معاكس جدائي لكل عنصر من عناصرها المختلفة عن الصفر. وبشكل مكافئ، حقل هو حلقة تُكون عناصرها المختلفة عن الصفر زمرة أبيلية تحت عملية الجداء.

تعريف وتوضيح[عدل]

يرمز له F\! يرمز له أحيانا \{F,+,\times\} هو مجموعة من العناصر مزودة بعمليتين ثنائيتين هما الجمع +\! والجداء \times بحيث تحقق البديهيات التالية:

  1. \{F,+,\times\} حلقة تبديلية.
  2. حيادي الجداء: \exists 1 \in F: a1 = 1a = a \ \forall a \in F
  3. لا تقبل القسمة على صفر: \forall a, b \in F \land ab = 0: a=0 \lor b=0
  4. المتمم بالنسبة للجداء: \forall a \in F\setminus\{0\}, \ \exists a^{-1} \in F: aa^{-1} = (a^{-1})a=1

مثال على الحقل هي مجموعة الأعداد الحقيقية أما مجموعة الأعداد الصحيحية فليست حقلا لأنها لا تحقق شرط المتمم بالنسبة للجداء إلا لعنصرين هما 1 و-1.

المثال الأول: الأعداد الجذرية[عدل]

انظر إلى كسر وإلى عملية تبديلية وإلى عملية تجميعية.

\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} = \frac{ba}{ab} = 1.

المثال الثاني: حقل مكون من أربعة عناصر[عدل]

+ O I A B
O O I A B
I I O B A
A A B O I
B B A I O
· O I A B
O O O O O
I O I A B
A O A B I
B O B I A

التاريخ[عدل]

استعمل مفهوم الحقل بصفة ضمنية (أي بصفة غير مباشرة) عالما الرياضيات نيلس هنريك أبيل وإيفاريست غالوا في عملهما حول قابلية حلحلة معادلات متعددات الحدود بمعاملات جذرية وبدرجات تساوي الخمسة أو تفوقها.

في عام 1857، نشر كارل فون شتاوت عملا له احتوى على نموذج هندسي يحقق الموضوعات اللائي يعرفن حقلا في شكله العصري.

أمثلة[عدل]

الأعداد القابلة للإنشاء[عدل]

عندما تكون الأعداد 0 و 1 و r1 و r2 معلومة، فإن هذا الشكل يمكن من إنشاء r1·r2

انظر عدد قابل للإنشاء وإلى مبرهنة طاليس.

الحقول المنتهية[عدل]

الحقول المنتهية، وقد تسمى حقول غالوا، هي حقول لها عدد منته من العناصر.

بعض المبرهنات الأولى[عدل]

نظرية غالوا[عدل]

تعتبر من أهم نظريات الجبر. انظر إلى امتداد جبري.

تعميمات[عدل]

تطبيقات[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg
هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.