مبرهنة الرواسب

في التحليل العقدي، مبرهنة الرواسب أو مبرهنة الرواسب لكوشي، هي أداة قوية لتقييم التكاملات الخطية للدوال التحليلية على المنحنيات المغلقة؛ يمكن استخدامه أحيانًا لحساب التكاملات الحقيقية والمتسلسلات اللانهائية أيضًا. تُعَمِّمْ هذه المبرهنة مبرهنة كوشي للتكامل وصيغة كوشي التكاملية.

نص المبرهنة

نص المبرهنة هو كالتالي:

لتكن U مجموعة فرعية مفتوحة مرتبطة ارتباطا بسيطا من المستوى العقدي تحتوي على قائمة منتهية من النقاط a₁, ..., a_n ، U₀ = U \ {a₁, …, a_n} ، والدالة f معرفة وهولومورفية على U₀ . ليكن γ منحنى مغلق قابل للتقويم في U₀، ويشير إلى عدد لفات γ حول a_k بـ I(γ, a_k) . التكامل الخطي لـ f حول γ يساوي 2πi مضروبًا في مجموع رواسب f عند النقاط، كل منها يحسب عدة مرات على أن γ يلتف حول النقطة:

$$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).$$

إذا كان γ عبارة عن منحنى مغلق بسيط موجهة إلى اتجاه موجب، I(γ, a_k) = 1 إذا كان a_k داخل γ، و 0 إذا لم يكن كذلك، فإن:

$$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})$$

مع مجموع حول أعداد a_k التي بداخل γ .