في الرياضيات ، دالة قوس جيب التمام [1] [2] (بالإنجليزية : Arccosine ) لعدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 هي الدالة العكسية لدالة جيب التمام ، مستقرها هو
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
، وحدتها هي الراديان .
الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 قيمة قوس جيب التمام الخاص به يرمز لها بـ arccos أو cos -1 . ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة جيب التمام المثلثية المقتصرة إلى المجال
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
.
في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب تمام الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة جيب التمام المقتصرة إلى المجال
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة y = x .
دالة جيب التمام العكسية تقبل الإشتقاق على المجال ]–1, 1[ ودالتها المشتقة هي:
arccos
′
x
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle \arccos 'x={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
إثبات [ عدل ]
يمكن كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:
(
arccos
x
)
′
=
d
d
x
arccos
x
{\displaystyle (\arccos x)'={d \over dx}\arccos x}
نضع
θ
=
arccos
x
{\displaystyle \theta =\arccos x}
:
d
θ
d
cos
θ
=
d
θ
−
d
θ
sin
θ
=
−
1
sin
θ
=
−
1
1
−
cos
2
θ
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d\theta }{d\cos \theta }}={\frac {d\theta }{-d\theta \sin \theta }}={\frac {-1}{\sin \theta }}={\frac {-1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
إثبات آخر
يمكن إيجاد مشتقة دالة arccos(x) عن طريق تفاضل مركب دالتين (دالة ومعكوسها ):
- إذا كانت cos(arccos(x)) = x بتفاضل الطرفين معاً ينتج:
(
cos
(
arccos
(
x
)
)
′
=
−
sin
(
arccos
(
x
)
)
d
d
x
arccos
x
{\displaystyle (\cos(\arccos(x))'={-\sin(\arccos(x))}{d \over dx}\arccos x}
أي أن:
(
x
)
′
=
−
1
−
cos
2
(
arccos
(
x
)
)
d
d
x
arccos
x
{\displaystyle \ (x)'=-{\sqrt {1-\cos ^{2}(\arccos(x))}}{d \over dx}\arccos x}
يُستنتج من ذلك:
1
=
−
1
−
x
2
d
d
x
arccos
x
{\displaystyle \ 1=-{\sqrt {1-x^{2}}}{d \over dx}\arccos x}
بترتيبها تنتج المشتقة:
d
d
x
arccos
(
x
)
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle \ {d \over dx}{\arccos(x)}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
الشكل التكاملي [ عدل ]
يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل المحدد:
arccos
x
=
∫
1
x
−
1
1
−
t
2
d
t
{\displaystyle \arccos x=\int _{1}^{x}{\frac {-1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt}
المشتق العكسي [ عدل ]
يمكن الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الجيب عن طريق التكامل بالتجزئة :
∫
arccos
(
x
)
d
x
=
x
arccos
(
x
)
−
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arccos(x)dx=x\,\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام [ عدل ]
arccos x (بالأزرق) و arcsin x (بالأحمر)
لكل عدد حقيقي x محصور بين –1 و 1 :
arccos
x
+
arcsin
x
=
π
2
{\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}}
إثبات [ عدل ]
يمكن أن نستنتج العلاقة بين arccos(x) و arcsin(x) كالتالي:
نأخذ:
y
=
arccos
(
x
)
{\displaystyle \ y=\arccos(x)}
cos
(
y
)
=
x
{\displaystyle \cos(y)=x}
يعني:
sin
(
π
2
−
y
)
=
x
{\displaystyle \sin {\left({\frac {\pi }{2}}-y\right)}=x}
ومنه:
π
2
−
y
=
arcsin
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-y=\arcsin(x)}
أي:
π
2
−
arccos
(
x
)
=
arcsin
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos(x)=\arcsin(x)}
و بترتيبها نحصل على:
arccos
(
x
)
+
arcsin
(
x
)
=
π
2
{\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}}
إثبات آخر
نشتق الدالة
arccos
(
x
)
+
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)}
:
−
1
1
−
x
2
+
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
وهي مساوية للصفر ، إذن arccos(x) + arcsin(x) هي عبارة عن دالة ثابتة .
نستنتج من ذلك أن:
مجموع arccos(x) و arcsin(x) عدد حقيقي ثابت (لأن مشتقة الثابت هي الصفر ) يتم تعيينه أي أن:
arccos
(
x
)
+
arcsin
(
x
)
=
α
{\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)=\alpha }
نأخذ arcsin(x) إلى الطرف الآخر:
arccos
(
x
)
=
α
−
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arccos(x)=\alpha -\arcsin(x)}
ندخل دالة الجيب تمام على الطرفين:
x
=
cos
(
α
−
arcsin
(
x
)
)
{\displaystyle \ x=\cos(\alpha -\arcsin(x))}
نبسط التعبير باستعمال قاعدة جيب تمام فرق عددين :
x
=
cos
(
α
)
cos
(
arcsin
(
x
)
)
+
sin
(
α
)
sin
(
arcsin
(
x
)
)
{\displaystyle \ x=\cos(\alpha )\cos(\arcsin(x))+\sin(\alpha )\sin(\arcsin(x))}
أي أن:
x
=
cos
(
α
)
1
−
x
2
+
x
sin
(
α
)
{\displaystyle \ x={\cos(\alpha )}{\sqrt {1-x^{2}}}+{x}{\;\sin(\alpha )}}
و بتعويض x ب 0
و التبسيط نحصل على:
0
=
cos
(
α
)
{\displaystyle 0=\cos(\alpha )}
بادخال دالة معكوس جيب التمام على الطرفين نحصل على:
arccos
(
0
)
=
α
{\displaystyle \arccos(0)=\alpha }
أي أن:
π
2
=
α
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\alpha }
و بالتالي نحصل على العلاقة بينهما:
arccos
(
x
)
+
arcsin
(
x
)
=
π
2
{\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}}
التمثيل بواسطة متسلسلة [ عدل ]
لدينا:
arccos
(
x
)
=
π
2
−
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)}
و بتعويض arcsin(x) بمتسلسلتها نحصل على متسلسلة دالة arccos(x) :
arccos
(
x
)
=
π
2
−
∑
k
=
0
∞
(
2
k
−
1
)
!
!
(
2
k
)
!
!
x
2
k
+
1
2
k
+
1
{\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{{\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}}}
على المستوي العقدي [ عدل ]
الشكل اللوغاريتمي [ عدل ]
التمثيل البياني اللوني للدالة
arccos
z
{\displaystyle \arccos z}
يمكن التعبير عن دالة قوس جيب التمام باستخدام اللوغاريتم العقدي :
arccos
(
x
)
=
−
i
ln
(
x
+
i
1
−
x
2
)
=
π
2
+
i
ln
(
i
x
+
1
−
x
2
)
=
π
2
−
arcsin
(
x
)
.
{\displaystyle \arccos(x)=-i\,\ln \left(x+i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x).}
طالع أيضًا [ عدل ]
مراجع [ عدل ]