مشتق عكسي

مواضيع في الحسبان

المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة حسبان تفاضلي  اشتقاق تغير المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد: قاعدة القوة، قاعدة الضرب، قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل حسبان تكاملي  تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة التكامل بواسطة: التجزيء، الأقراص، الطبقات الأسطوانية، التعويض، التعويضات المثلثية، الكسور الجزئية، تغيير الرتب حسبان المتجهات  تدرج تباعد التواء لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس مبرهنة التباعد حسبان متعدد المتغيرات  حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي

في التحليل الرياضي، المشتق العكسي أو التكامل غير المحدود، أو الدالة الأصلية لدالة حقيقية f هي دالة F مشتقه تساوي : f، أي أن F′ = f.

القواعد الرياضياتية

يعبر عن التكامل غير المحدود رياضياتياً بالصيغة:

$\int f(x) dx = F(x) + C$

حيث

$F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x)$

استُعمل الرمز $\textstyle \int$ للدلالة على التكامل وهو مشتق من الرمز الأصلي s بالإنكليزية من مجموع sum ومع الوقت اعتاد الرياضياتيون على مد الحرف ليصبح بالشكل الذي هو علية الآن. التعبير F(x) + C هو الاشتقاق العكسي العام للدالة لأن مشتقة الثابت C هي صفرf. إن سبب ضرورة إضافة ثابت في التكامل هو عدم معرفة القيمة الأصلية له قبل الاشتقاق.

تشتق قواعد التكامل الغير محدود من قواعد الاشتقاق نفسها كون العملية عكسية.

فمثلا عند وجود ثابت مضروب في الدالة فبالإمكان مكاملة الدالة ثم ضرب التكامل في الثابت, أي:

$\int af(x) dx = a \int f(x) dx$

كذلك الحال لمجموع دالتين f وg أو الفرق بينهما:

$\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$

الطرائق المختلفة لايجاد التكامل

ليست كل العمليات أو القواعد الممكنة في الدالة الاصلية يمكن تنفيذها مباشرة في المعكوس. فمثلا لايمكن ايجاد تكامل حاصل ضرب أو قسمة دالتين مباشرة ولكن يمكن الاستعانة بالتعريف الاصلي في التفاضل وخواصه لايجاد قاعدة شبيهه.

هنا بعض الطرق المستخدمة في ايجاد الاشتقاق العكسي للتابع:

العلاقة الخطية:

$\int (af(x)+bg(x))\, dx=a\int f(x)\, dx+b\int g(x)\, dx.$

التكامل بالتعويض:

مقال تفصيلي :تكامل بالتعويض

$\int_a^b f(g(t))g'(t)\, dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx.$

التكامل بالتجزيء:

مقال تفصيلي :تكامل بالتجزئة

$\int u\, dv=uv-\int v\, du.\!$

التكامل بالنشر قالب:رئيس يمكن نشر الدالة قبل مكاملتها باستخدام مفكوك تايلور وماكلورين ثم مكاملتها.

باستخدام مفكوك تايلور

$\int f(x)dx=\int \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}dx= \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!(n+1)} \, (x-a)^{n+1} + C$

باستخدام مفكوك ماكلورين

$\int f(x)dx=\int \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(0)}{n!} \, x^{n}dx= \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(0)}{n!(n+1)} \, x^{n+1} + C$

التكامل بالتحليل العددي:

مقال تفصيلي :تكامل عددي

تستخدم هذه الطريقة لحساب التكاملات المحدودة بواسطة الحاسوب حيث يتم عمل خوارزمية مناسبة لحساب التكامل في برنامج وتنفيذه. تستطيع الحواسيب في الوقت الحاضر حساب تكاملات غاية في التعقيد في زمن صغير جدا.

تعتبر طريقة شبه المنحرف المركب من أشهر الطرق المستخدمة في التحليل العددي وتلخص بالصيغة:

$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n} \left({f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left(a+k \frac{b-a}{n} \right) \right)$

حيث تأخذ الفترات الفرعية الشكل [k h, (k+1) h], مع h = (b−a)/n وk = 0, 1, 2,..., n−1

انظر أيضا

• تكامل
• قائمة التكاملات