مشتق عكسي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة

في التحليل الرياضي، المشتق العكسي أو التكامل غير المحدود، أو الدالة الأصلية لدالة حقيقية f هي دالة F مشتقه تساوي : f، أي أن F′ = f.

القواعد الرياضية[عدل]

يعبر عن التكامل غير المحدود رياضياً بالصيغة:

\int f(x) dx = F(x) + C
حيث
F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x)

استُعمل الرمز \textstyle \int للدلالة على التكامل وهو مشتق من الرمز الأصلي s بالإنكليزية من مجموع sum ومع الوقت اعتاد الرياضياتيون على مد الحرف ليصبح بالشكل الذي هو علية الآن. التعبير F(x) + C هو الاشتقاق العكسي العام للدالة لأن مشتقة الثابت C هي صفرf. إن سبب ضرورة إضافة ثابت في التكامل هو عدم معرفة القيمة الأصلية له قبل الاشتقاق.

تشتق قواعد التكامل الغير محدود من قواعد الاشتقاق نفسها كون العملية عكسية.

فمثلا عند وجود ثابت مضروب في الدالة فبالإمكان مكاملة الدالة ثم ضرب التكامل في الثابت, أي:

\int af(x) dx = a \int f(x) dx

كذلك الحال لمجموع دالتين f وg أو الفرق بينهما:

\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx

الطرائق المختلفة لايجاد التكامل[عدل]

ليست كل العمليات أو القواعد الممكنة في الدالة الاصلية يمكن تنفيذها مباشرة في المعكوس. فمثلا لايمكن ايجاد تكامل حاصل ضرب أو قسمة دالتين مباشرة ولكن يمكن الاستعانة بالتعريف الاصلي في التفاضل وخواصه لايجاد قاعدة شبيهه.

هنا بعض الطرق المستخدمة في ايجاد الاشتقاق العكسي للتابع:

العلاقة الخطية:

\int (af(x)+bg(x))\, dx=a\int f(x)\, dx+b\int g(x)\, dx.

التكامل بالتعويض:


\int_a^b f(g(t))g'(t)\, dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx.

التكامل بالتجزيء:

\int u\, dv=uv-\int v\, du.\!

التكامل بالنشر

يمكن نشر الدالة قبل مكاملتها باستخدام مفكوك تايلور وماكلورين ثم مكاملتها.

باستخدام مفكوك تايلور

\int f(x)dx=\int  \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}dx=  \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!(n+1)} \, (x-a)^{n+1} + C

باستخدام مفكوك ماكلورين

\int f(x)dx=\int  \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(0)}{n!} \, x^{n}dx=  \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(0)}{n!(n+1)} \, x^{n+1} + C

التكامل بالتحليل العددي:

تستخدم هذه الطريقة لحساب التكاملات المحدودة بواسطة الحاسوب حيث يتم عمل خوارزمية مناسبة لحساب التكامل في برنامج وتنفيذه. تستطيع الحواسيب في الوقت الحاضر حساب تكاملات غاية في التعقيد في زمن صغير جدا.

تعتبر طريقة شبه المنحرف المركب من أشهر الطرق المستخدمة في التحليل العددي وتلخص بالصيغة:

\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n} \left({f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left(a+k \frac{b-a}{n} \right) \right)

حيث تأخذ الفترات الفرعية الشكل [k h, (k+1) h], مع h = (ba)/n وk = 0, 1, 2,..., n−1

انظر أيضا[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين. ساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.