راديان

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
بعض الزوايا الشهيرة مقاسة بالراديان
طول قوس الدائرة مساوي لنصف قطرها يعادل زاوية بمقدار واحد راديان (rad) طول كامل قوس الدائرة يعادل زاوية بمقدار 2 ط راديان

الراديان هي وحدة قياس للزوايا المستوية وهي الوحدة الرسمية المعتمدة ضمن النظام الدولي للوحدات المستخدمة في الرياضيات والفيزياء وتعرف بأنها الزاوية المركزية المتوضعة على مركز الدائرة والتي تحدد قوساً طوله مساوي لنصف قطر الدائرة. يعادل الراديان الواحد \tfrac{180}{\pi} درجات، أي بالتقريب 57.29578^{\circ}.

رسميًا، فإنّ الراديان كمية لا بعدية، بعكس الثانية أو المتر، فهو مجرّد عدد. لذا فإنّ تدوين كلمة راديان (أو rad) هو للإيضاح فقط ويجب ألاّ يفهم منه أنّ له مفهومًا فيزيائيًا. عندما تكتب الزاوية بدون أي علامة، يقصد بشكل عام أن القيمة هي بالرىديان، بينما تضاف العلامة ^{\circ} للإشارة إلى الدرجة.

إنّ وحدة القياس الرسمية المعتمدة ضمن النظام الدولي للوحدات للزاوية الفراغية الصلبة هي الستراديان، وهي، بعكس الراديان، كميّة بعديّة ذات مفهوم فيزيائي.

تعريف[عدل]

يعرّف الراديان الواحد على أنّه الزاوية المركزيّة في دائرة التي تقابل قوسًا طوله مساوٍ لطول نصف قطر الدائرة.

زاوية مركزيّة مقدارها 1 راديان تكون مقابلة لقوس طوله يساوي طول نصف قطر الدائرة

وبشكل عام، فإنّ مقدار أي زاوية مركزيّة يحصرها نصفا قطر ما بالراديان تساوي النسبة بين طول القوس المقابل للزاوية وبين نصف قطر الدائرة، أي أنّ:

\theta = \frac{l}{R}

بحيث أنّ:

\theta هي الزاوية المركزيّة،
l هو طول القوس،
وR هو طول نصف قطر الدائرة.

بالمقابل، فبالإمكان حساب طول قوس في دائرة نصف قطرها R يقابل زاوية مركزية مقدارها \theta: l = \theta \cdot R

من هذا القانون بالإمكان الاستدلال على مقدار الراديان الواحد. فإنّ زاوية دائرية كاملة تعادل 360^{\circ}، وهي تقابل قوسًا يساوي كل محيط الدائرة، لذا فإنّ مقدارها بالراديان هو: \tfrac{2 \pi R}{R} = 2 \pi. إذا كانت زاوية مقدارها 360 درجة تعادل 2 \pi راديان، فيعادل الراديان الواحد \tfrac{180}{\pi} درجة.

تاريخ[عدل]

أوّل من أتته فكرة الراديان كان الرياضي البريطاني روجر كوتس، عام 1714. مع أنّه لم يطلق على الفكرة كلمة راديان، فقد فهم كوتس مدى بديهيّة المفهوم كوحدة للقياس الزاوي.

تحويل بين الراديان والدرجة[عدل]

للتحويل من راديان إلى درجات يجب أن نضرب الراديان بالقيمة \tfrac{180}{\pi}. فعلى سبيل المثال:

1\ \mbox{rad} = \frac{180}{\pi} \approx 57.29578^{\circ}
\frac{\pi}{3}\ \mbox{rad} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{180}{\pi} = 60^{\circ}

وبالمقابل، فللتحويل من درجات إلى راديان، يجب أن نضرب بالقيمة \tfrac{\pi}{180}:

1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \approx 0.01745\ \mbox{rad}
90^{\circ} = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}\ \mbox{rad}

إمكانيّة أخرى هي تحويل مقدار الزاوية بالراديان إلى عدد الدورانات بواسطة القسمة على 2 \pi. فمثلاً، إنّ 6 \pi\ \mbox{rad} تعادل ثلاثة دورات كاملة.

قائمة بأكثر الزوايا شيوعًا وقيمها بالدرجات وبالراديان
جزء الدائرة 0 \tfrac{1}{12} \tfrac{1}{8} \tfrac{1}{6} \tfrac{1}{4} \tfrac{1}{2} \tfrac{3}{4} 1
الزاوية بالدرجات 0^{\circ} 30^{\circ} 45^{\circ} 60^{\circ} 90^{\circ} 180^{\circ} 270^{\circ} 360^{\circ}
الزاوية بالراديان 0 \tfrac{\pi}{6} \tfrac{\pi}{4} \tfrac{\pi}{3} \tfrac{\pi}{2} \pi \tfrac{3\pi}{2} 2 \pi

التحليل البعدي[عدل]

كثيرًا ما يستخدم الراديان كوحدة القياس المفضّلة في العديد من المجالات. ففي حساب التفاضل والتكامل، مثلاً، يساعد كون الراديان كميّة غير بعديّة في صياغ المعادلات والبراهين، وهذا بسبب عدم وجود حاجة إلى "إلغاء" وحدة القياس.

إنّ استعمال الراديان، خاصّة في الدوال المثلثية كالجيب وجيب التمام وغيرها، هو بسيط. فمثلاً بواسطة الراديان بالإمكان برهنة نهاية الدالة الآتية:

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1,

وهي نتيجة أساسيّة. كذلك، بالإمكان برهنة عدد من المعادلات المثلثية:

\frac{d}{dx} \sin x = \cos x
\frac{d^2}{dx^2} \sin x = -\sin x.

بسبب مثل هذه الخواص وغيرها، قد تظهر الدوال المثلثية بالتمثيل الرادياني في سياقات قد لا تمت بصلة مباشرة للمفهوم الهندسي الأصلي لتلك الدوال. فمثلاً، تكون هذه الدوال حلاًّ للمعادلة التفاضلية التالية: \frac{d^2y}{dx^2} = -y.

طريقة أخرى لرؤية الفائدة من وراء كون الراديان كميّة لا بعدية تظهر عند التمعن بمتسلسلة تايلور للدوال المثلثيّة:

sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots

فإذا لم يكن الراديان كميّة غير بعديّة، لما كان بإمكان متسلسلة تايلور أن تكتب بهذه البساطة، إذ كان يتوجّب إلغاء البعد الفيزيائي للكمية لكي نتمكن من جمع كل الحدود، لأنّ كل منها بقوّة مختلفة. فلا يمكن أن نجمع حدًا بُعده متر وحدًا بُعده متر^{3}.

الاستعمال في الفيزياء[عدل]

إنّ استعمال وحدة الراديان في الفيزياء أمر شائع لقياس الزوايا. فعلى سبيل المثال، تقاس السرعة الزاوية في غالب الأحيان بوحدات راديان في الثانية (\tfrac{rad}{sec}). وإنّ وحدة الدورة في الثانية تعادل 2 \pi\ \mbox{rad} في الثانية. كما ويقاس التّسارع الزاويّ بشكل عام بوحدة الراديان في الثانية في الثانية (\tfrac{rad}{sec^2}).

يعود سبب الاستعمال الشائع للراديان في الفيزياء إلى نفس أسباب استعماله في الرياضيات - فإنّ استعمال الكمية يبسط الأمور في الكثير من الأحيان.

اقرأ أيضًا[عدل]