قائمة المطابقات المثلثية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
الجيوب وجيوب التمام حول دائرة الوحدة

في الرياضيات، المتطابقات المثلثية أو المطابقات المثلثية أو المعادلات المثلثية هي مجموعة من المساواة تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دورا كبيرا في حل المعادلات الرياضية خاصة في معكوس الدالة (كصيغة كاردان) والتكامل (كتكامل مربع جيب تمام الزاوية).

هي نوع من المعادلات التي تحتوي على قيم الدوال المثلثية (جا، جتا، ظا) أو مقلوباتها بحيث تكون احدى زوايا المعادلة مجهولة ويحل هذا النوع من المعادلات كباقي المعادلات الجبرية العادية وبطرق التحليل المعروفة[1].

ملاحظات[عدل]

  • لتجنب الالتباس حول (sin−1(x ومثيلاتها هل هي مقاليب أم معاكيس، سيتم استخدام (csc(x ومثيلاتها للمقاليب و(arcsin(x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.
الدالة الدالة العكسية المقلوب معكوس المقلوب
جيب الزاوية sin قوس جيب الزاوية arcsin قاطع تمام الزاوية csc قوس قاطع تمام الزاوية arccsc
جيب تمام الزاوية cos قوس جيب تمام الزاوية arccos قاطع الزاوية sec قوس قاطع الزاوية arcsec
ظل الزاوية tan قوس ظل الزاوية arctan ظل تمام الزاوية cot قوس ظل تمام الزاوية arccot

الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها

الدرجات 30 45 60 90 120 180 270 360
الراديان
غراد 33 ⅓ 50 66 ⅔ 100 133 ⅓ 200 300 400

علاقات أساسية[عدل]

متطابقة فيثاغورس المثلثية
متطابقة النسبة
كل دالة مثلثية بدلالة مثيلاتها الخمس الأخرى.
الدالة

التطابق، الإزاحة، والدورية[عدل]

من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية..

التطابق[عدل]

تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي.

انعكاس في انعكاس في
(متطابقة مساعدة)
انعكاس في

الإزاحة والدورية[عدل]

θ مزاحة بمقدار π/2 θ مزاحة بمقدار π θ مزاحة بمقدار 2π

متطابقات مجموع وفرق الزوايا[عدل]

الجيب
جيب التمام
الظل
قوس الجيب
قوس جيب التمام
قوس الظل

شكل المصفوفة[عدل]

جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائية[عدل]

ظلال مجاميع حدود محدودة[عدل]

مثال:

وهكذا

قواطع مجاميع حدود محدودة[عدل]

مثلا,

صيغ الزوايا المتعددة[عدل]

Tn هو متعدد الحدود لشيبيشيف من الدرجة n   
صيغة دي موافر، هي وحدة تخيلية     

صيغ أضعاف وثلاثيات وأنصاف الزوايا[عدل]

أنظر أيضا: صيغة فايرشتراس [الإنجليزية]

صيغ ضعف زاوية[عدل]

صيغ ثلاثة أضعاف زاوية[عدل]

صيغ نصف زاوية[عدل]

حيث و هي دالة الجزء الصحيح.

[2][3]

أيضا:

جيوب، جيوب التمام، وظلال زوايا متعددة[عدل]

ظل المتوسط[عدل]

جداء Viète اللانهائي[عدل]

حيث تشير sinc إلى دالة الجيب الجوهري وهي تكافئ

صيغ اختصار الأس[عدل]

جيب جيب التمام أخرى
جيب التمام جيب
إذا كان n فردي
إذا كان n زوجي

متطابقات التحويل من المجموع إلى الجداء والجداء إلى المجموع[عدل]

من الجداء إلى المجموع
من المجموع/الفرق إلى الجداء

متطابقات أخرى ذات صلة[عدل]

إذا كانت تساوي نصف دائرة، فإن:
و

مبرهنة بطليموس[عدل]

إذا كانت تساوي نصف دائرة، فإن:

مركبات خطية[عدل]

حيث:

أو:

حيث:

و:

مجاميع أخرى للدوال المثلثية[عدل]

تحويلات كسرية خطية معينة[عدل]

وبالمثل:

وعليه:

الدوال المثلثية العكسية[عدل]

مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتها[عدل]

علاقة بالأس المركب[عدل]

(صيغة أويلر),

حيث .

صيغ الجداء اللانهائي[عدل]

المتطابقات الخالية من المتغيرات[عدل]

حساب π[عدل]

بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرة[عدل]

قيم أخرى شيقة[عدل]

بـالنسبة الذهبية φ:

التفاضل والتكامل[عدل]

في حساب التفاضل والتكامل، تتطلب العلاقات المذكورة أدناه قياس الزوايا بالتقدير الدائري (راديان)؛ ستصبح العلاقات أكثر تعقيدًا إذا تم قياس الزوايا بوحدة أخرى مثل الدرجات. إذا كانت الدوال المثلثية معرفة بدلالة الهندسة، إلى جانب تعريفات طول القوس والمساحة ، يمكن إيجاد مشتقاتها من خلال التحقق من نهايتين. الأولى هي:

محققة باستخدام دائرة الوحدة ومبرهنة الساندويتش. النهاية الثانية هي:

محققة باستخدام هذه المتطابقة tan x/2 = 1 − cos x/sin x. بعد تحديد هتين النهايتين، يمكن للمرء استخدام تعريف النهاية للمشتقات ومبرهنات الجمع لإظهار أن (sin x)′ = cos x و (cos x)′ = −sin x. إذا كانت دالتي الجيب وجيب التمام معرفة بمتسلسلة تايلور الخاصة بهم، فيمكن إيجاد المشتقات عن طريق اشتقاق متسلسلة القوى حدًا بحد.

يمكن اشتقاق باقي الدوال المثلثية باستخدام المتطابقات أعلاه وقواعد التفاضل:

يمكن إيجاد المتطابقات التكاملية في قائمة تكاملات الدوال المثلثية. بعض الأشكال العامة مسرودة أدناه:

تضمينات[عدل]

تعاريف أسية[عدل]

الدالة الدالة المعكوسة

متفرقات[عدل]

نواة ديراك[عدل]

تعويض بظل نصف الزاوية[عدل]

إذا وضعنا  :

انظر أيضًا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ ملخصات ايزي شوم
  2. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
  3. ^ إيريك ويستاين، Half-Angle Formulas، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).