قوانين كبلر

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
ملخص تصويري لقوانين كبلر الثلاثة.

أثبت العالم الفلكي يوهان كبلر في 1609 ان النظام الذي وضعه كوبرنيكس عن مركزية الشمس هو الوحيد الذي يعكس الحقيقة بدقة. وعن طريق عمليات حسابية معقدة ومتعددة، وضع كبلر القوانين الثلاثة الهامة فيما يتعلق بحركة الكواكب. وهذه القوانين هي:

  1. تدور الكواكب حول الشمس بحركة ليست دائرية ولكن في قطع ناقص تحتل الشمس إحدى بؤرتيه. والقطع الناقص هو الشكل الذي نحصل عليه إذا قطعنا جسماً اسطوانياً بمنشار مائل.
  2. تختلف سرعة الكوكب في دورانه حول الشمس تبعاً لبعده عنها، فإذا كان قريباً، فإنه يدور بسرعة أكبر، وكلما زاد بعده كلما قلت سرعته في الدوران، حيث تتساوى مساحة المثلثين المشكلين فيما بين الشمس وقوس المسافات المغطاة من كوكبين في نفس الوقت.
  3. النسبة بين مربعي فترتي دوران أي كوكبين هي نفسها النسبة بين القيمة التكعبية للبعد المتوسط لكل منهما عن الشمس ومثال

تجدر الإشارة هنا إلى أن قوانين كبلر مشروعة فقط في حالة جسم عديم الكتلة ووحيد (أي لا يتأثر بجاذبية الكواكب الأخرى) يدور حول الشمس. فيزيائياً من المحال تحقيق هذا الشرط ومع ذلك فإن قوانين كبلر لا تزال ذات أهمية كبرى في تقريب الحسابات.

بعد قرن تقريباً بيّن نيوتن أن قوانين كبلر هي نتاج طبيعي لقانونه (التربيع العكسي) في الجاذبية ضمن الشروط الحدّية التي أشير إليها سابقاً. كذلك عمل نيوتن على توسيع قوانين كبلر بطرق مختلفة منها السماح بحساب المدارات حول أجرام سماوية أخرى. كان قد أوضح أيضاً الأسباب التي جعلت من النظام الشمسي نموذجاً أقرب ما يكون إلى القانون المثالي ليستعملها كبلر في قوانينه.[1]

يستغرق الكوكب عطارد مثلاً 88 يوماً والأرض 365 في مدارهما مرة واحدة حول الشمس، وإذا ضرب كلا الرقمين بنفسه للحصول على مربعهما نحصل على 7744 وبالتالي 133225. ويبلغ الرقم الثاني حوالي 17 أضعاف للأول. ولننتقل الآن إلى نسبة بعدهما عن الشمس. فبُعد عطارد في المتوسط حوالي 36 مليون ميل عن الشمس أما الأرض فتبعد حوالي 93 مليون ميل في المتوسط. واذا ما ضربنا الأرقام بنفسهما مرتين للحصول على القيمة التكعيبية لهما نحصل على 46656 و 804357. وهنا نجد أن النسبة بين هذين الرقمين قريبة جداً من النسبة الأولى أي 17:1.

القانون الأول[عدل]

شكل 2: قانون كبلر واضعا الشمس في بؤرة مدار قطع ناقص.
"مدار كل كوكب عبارة عن قطع ناقص تقع الشمس في إحدى بؤرتيه."

يمثل القطع الناقص نموذجاً معيناً من الأشكال الرياضياتية التي تنجم عن دائرة مطالة. كما في الشكل، يلاحظ أن الشمس وإن كانت لا تقع على المركز فهي واقعة على أحد البؤرتين. البؤرة الأخرى تم تعليمها بنقطة خفيفة ولا تأثير فيزيائي لها في حقيقة الأمر.

إن مقدار إطالة ذلك القطع الناقص أو الإهليج مقارنة بالدائرة المثالية يعرف بشذوذه; وهو معامل يتغير من 0 في حالة الدائرة إلى إلى 1 في حالة تم شدّ الدائرة من طرفين إلى أن أصبحت خطاً مستقيماً.

كان كبلر قد عرف أن مقدار الشذوذ في الزهرة 0.007 وعطارد 0.2.

شكل 4: نظام إحداثيات مركزية الشمس (r, θ) لقطع ناقص. من المعطيات أيضا: نصف المحور الأكبر a، نصف المحور الأصغر b ونصف الجانب المستقيمp; مركز القطع الناقص وبؤرتيه تم تعليمها بنقاط كبيرة. عند θ = 0°, r = rmin وعند θ = 180°, r = rmax.

بالرموز، يمكن تمثيل القطع الناقص في الإحداثيات القطبية بالصورة:

r=\frac{p}{1+\varepsilon\, \cos\theta},

حيث (rθ) هي الإحداثي القطبي (من البؤرة) للقطع الناقص، p نصف الجانب المستقيم، وε التخالف المركزي للقطع الناقص.

بالنسبة لكوكب يدور حول الشمس r هي المسافة من الشمس إلى الكوكب وθ هي الزاوية ورأسها عند الشمس نسبة للموقع الأقرب من الكوكب إلى الشمس.

عند θ = 0°، الحضيض، تكون المسافة في أدنى قيمة لها.

r_\mathrm{min}=\frac{p}{1+\varepsilon}.

عند θ == 90° وعند θ == 270° تكون المسافة \, p.

عند θ = 180°، القبا، تكون المسافة أبعد مايمكن.

r_\mathrm{max}=\frac{p}{1-\varepsilon}.

نصف المحور الأكبر a هو المتوسط الحسابي بين rmin وrmax:

\,r_\max - a=a-r_\min
وبالتالي
a=\frac{p}{1-\varepsilon^2}.

نصف المحور الأصغر b والمتوسط الهندسي بين rmin وrmax:

\frac{r_\max} b =\frac b{r_\min}
وبالتالي
b=\frac p{\sqrt{1-\varepsilon^2}}.

نصف الجانب المستقيم p هو المتوسط التوافقي بين rmin وrmax:

\frac{1}{r_\min}-\frac{1}{p}=\frac{1}{p}-\frac{1}{r_\max}.

الاختلاف المركزي ε هي معامل التباين بين rmin وrmax:

\varepsilon=\frac{r_\mathrm{max}-r_\mathrm{min}}{r_\mathrm{max}+r_\mathrm{min}}.

مساحة القطع الناقص هي

A=\pi a b\,.

الحالة الخاصة للدائرة ε == 0, ينتج عنها r = p = rmin = rmax = a = b وA == π r2.

القانون الثاني[عدل]

شكل 3: توضيح قانون كبلر الثاني. يتحرك الكوكب أسرع بالقرب من الشمس، بحيث تكون المساحة المغطاة نفسها خلال زمن ما كتلك للمسافات الطويلة، حيث يتحرك الكوكب ببطء. السهم الأخضر يوضح سرعة الكوكب، والوردي يوضح القوة المبذولة على الكوكب.
"الخط الواصل بين كوكب والشمس يقطع مساحات متساوية خلال أزمنة متساوية."[2]

لفهم القانون الثاني، يمكننا تخيل كوكب يستغرق يوماً للانتقال إلى ومن النقطه كذا إلى النقطه كذا من نقطة A إلى نقطة B.الخطوط من الشمس إلى النقاط A وB، تشكل مع مدار الكوكب مساحة مثلثية. نفس المساحة سيتم تغطيتها كل يوم بغض النظر عن موقع الكوكب على المسار. لما كان القانون الأول ينص على أن الكوكب يتبع مسار قطع ناقص، سيكون الكوكب على مسافات مختلفة من الشمس عند أجزاء مختلفة في المدار. لذلك يلزم الكوكب أن يتحرك على نحو أسرع كلما اقترب من الشمس حتى يكتسح مساحة متساوية.

قانون كبلر الثاني يكافئ الحقيقة القائلة بأن القوة العمودية على نصف القطر هي صفر. تتناسب السرعة المساحية مع كمية التحرك الزاوي، ولنفس السبب بالتالي، يعتبر قانون كبلر الثاني أيضاً نصاً غير مباشر لمبدأ حفظ الزخم الزاوي. رياضياتياً:

\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}r^2 \dot\theta\right) = 0,

حيث \tfrac{1}{2}r^2 \dot\theta هي "السرعة المساحية".

يعرف هذا القانون أيضاً بقانون المساحات المتساوية. كما يمكن تطبيقه على مقذوفات القطع المكافئ والقطع الزائد.


المصدر[عدل]

  1. ^ See also G E Smith, "Newton's Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", especially the section Historical context... in The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2008 Edition), Edward N. Zalta (ed.).
  2. ^ Bryant, Jeff; Pavlyk, Oleksandr. "Kepler's Second Law", Wolfram Demonstrations Project. Retrieved December 27, 2009.

اقرأ أيضا[عدل]

Great collapse Kepler's first law,Natural Science,2,2010,pp.786-792