هذه المقالة يتيمة. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها

نسبة الإضمحلال

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
مواضيع في الميكانيكا الكلاسيكية
ميكانيكا كلاسيكية (التاريخ)

قانون نيوتن الثاني

السكون | الحركة | التحريك |هاملتون | لاغرانج

مصطلحات رياضية

جسيم نقطي | نظام إحداثي | متجه | جسم جاسيء

علم السكون

توازن ميكانيكي | قيد ميكانيكي | مبرهنة لامي | إجهاد القص | انفعال | إجهاد

علم الحركة

حركة انتقالية | حركة دورانية | سرعة | تسارع | سرعة خطية | سرعة زاوية | تسارع خطي | تسارع زاوي

علم التحريك

قوانين نيوتن الثلاثة للحركة | طاقة حركية| ميكانيكا تحليلية | طاقة كامنة | قوة | متجه | زخم أو كمية الحركة | دفع القوة | عزم | عطالة | عزم العطالة | عزم زاوي | تصادم | سقوط حر | ثقالة | قذف

قوانين الحفظ

بقاء الكتلة | بقاء القيمة | بقاء الطاقة | تكافؤ المادة والطاقة | مبرهنة نويثر | معادلة الاستمرار | لاتباين أو صمود

الإضمحلال أو التوهين (بالإنجليزية: Damping)؛ تأثير يحدث على أو ضمن نظام متذبذب يعمل على منع وتقييد ومقاومة حركته، فيزيائياً يحدث الإضمحلال نتيجة تبدد جزء من طاقة الحركة المختزنة في النظام بفعل وجود عرقلة لهذا التذبذب وكأمثلة على أنواع العرقلة،[1] لزوجة الوسط المحيط بالمهتز الميكانيكي، والمقاومة في المذبذبات الألكترونية والإمتصاص والحيود في المذبذبات البصرية، بينما الإضحملال الذي لا يعتمد على فقدان الطاقة يمكن أن يكون مهماً في الأنظمة البيولوجية و ديناميكا الدراجات [الإنجليزية].[2]

يمكن تعريف نسبة الإضمحلال بأنها مقياس يصف سرعة إضمحلال المهتزات بين ذبذبتين متعاقبتين وهي قيمة بدون وحدة تصف حالة إهتزاز نظام بعد بدء الحركة، حيث أن الكثير من الأنظمة تسلك سلوك مهتز عند إزاحتها عن موضع إتزانها، مثلاً الحركة الإهتزازية العمودية إلى الأعلى والأسفل لكتلة معلقة بنابض عند سحبها عن موضع إتزانها ثم تحريرها، يهدف النظام للعودة إلى موضع إستقراره لكنه في كل ذبذبة يتجاوز نقطة الإستقرار بفعل إستمرارية الحركة، خسارة طاقة النظام في كل ذبذبة تؤدي إلى إخماد الحركة بشكل تدريجي حتى تصل إلى الصفر إو إلى قيمتها الصغرى.

تمثل نسبة الإضمحلال صفة مميزة للنظام ويشار لها بالحرف (زيتا: )، ولها قيم بين:

() للنظام غير المضمحل، () للنظام المضمحل، () للنظام الحرج، () فوق المضمحل.

سلوك الأنظمة المهتزة غالباً ما يكون مهماً في عدد كبير من التخصصات مثل هندسة التحكم، والهندسة الكيميائية، والهندسة الميكانيكية، الهندسة الإنشائية، والهندسة الكهربائية، الكمية الفيزيائية التي تكون تحت الدراسة تختلف حسب التخصصات من الممكن أن تكون تأرجح لمبنى مرتفع أو سرعة دوران محرك كهربائي لهذا من السهل والمفيد استعمال التعبير الخالي من الوحدات في وصف الظواهر الإضمحلال لمختلف الظواهر.

حالات الإضمحلال[عدل]

على سبيل المثال لنظام يتكون من كتلة معلقة بنابض شاقولي:

  • في حالة إنعدام الخسار بالطاقة، يمكن للكتلة التأرجح إلى المالانهاية حيث أن سعة الإهتزاز أو إزاحتها عن موضع الإستقرار تكون متساوية بين كل ذبذبتين متعاقبتين، تسمى هذه الحالة (حركة غير مضمحلة).
  • إذا كان للنظام خسارة طاقة عالية جداً، مثلاً عند إزاحة الكتلة عن موضع إستقرارها في سائل لزج، ستعود الكتلة إلى موضع إتزانها ببطء، وهذه الحالة تسمى (حركة فوق مضمحلة).
  • بشكل عام، الكتلة ستتجاوز موضع إتزانها لكنها ستفقد مقداراً من الطاقة عند كل ذبذبة مما يجعل إزاحتها عن موضع إتزانها عند الذبذبة التالية أقل من سابقتها ويستمر فقدان الطاقة حتى تختفي الحركة وتستقر الكتلة عند موضع الإتزان، وهذه الحالة تسمى (حركة مضمحلة).
  • مابين حالة فوق الإضمحلال والحركة المضمحلة يوجد مستوى معين حيث يفشل النظام في إنجاز ذبذبة واحدة وتعود الكتلة مباشرةً إلى موضع الإستقرار، تسمى هذه الحركة (الإضمحلال الحرج)، الفرق الرئيسي بين الإضمحلال الحرج وفوق الإضمحلال هو أن النظام في الحالة فوق الإضمحلال سيعود إلى نقطة إستقراره في أقل فترة زمنية ممكنة.

التعريف[عدل]

شكل التردد لنظام يوصف بمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية، لقيم مختلفة من نسبة الإضمحلال تتراوح بين 0 و 2.

يرمز إلى نسبة الإضمحلال عادة بالرمز (زيتا: [3] وهي مقدار مهم خاصة في نظرية التحكم، ودراسة المهتز التوافقي.

تعبر نسبة الإضمحلال رياضياً عن مستوى الإضمحلال في النظام نسبةً إلى الإضمحلال الحرج، لمهتز توافقي كتلته ()، ومعامل الإضمحلال ()، وثابت نابض ()، يمكن تعريف نسبة الإضمحلال بأنها النسبة بين معامل الإضمحلال في المعادلة التفاضلية للنظام على معامل الإضمحلال الحرج، كما يلي:

ومعادلة الحركة للنظام تعطى بالصيغة التالية:

ومعامل الإضمحلال الحرج يعطى بالشكل:

أو

حيث أن: يمثل التردد الطبيعي للنظام المهتز.

لكون نسبة الإضمحلال هي نسبة بين مقدارين متماثلين بالوحدة فهي معامل خالي من الوحدات.

الإشتقاق[عدل]

بإستخدام التردد الطبيعي لمهتز توافقي () وتعريف نسبة الإضمحلال أعلاه يمكننا إعادة كتابة المعادلة بالشكل التالي:

الحل التقريبي لهذه المعادلة يعطى بالشكل:

حيث أن و هما ثوابت معقدة، و قيمة المناسبة له تعطى بالشكل:

تعطي هذه القيمة حلان مناسبان للمعادلة، يمكن ربطهما معاً لتكوين عدة حلول عامة حقيقية، لعدة حالات من الإضمحلال كما يأتي:

غير مضمحل[عدل]

في هذه الحالة تكون () والتي تصف حالة مذبذب توافقي بسيط عديم الإضمحلال، وهنا يكون حل المعادلة .

حالة الإضمحلال[عدل]

إذا كانت () هي زوج من القيم المعقدة، سيؤدي كل حد معقد منهم إلى حل بإضمحلال أُسي بالشكل . هذه الحالة تحدث بين () وتشير إلى حالة الإضمحلال.

فوق الإضمحلال[عدل]

إذا كانت () زوج من القيم الحقيقية، عندها الحل عندها سيكون مجموع حدين من الإضمحلال الأسي بدون تذبذب، هذه الحالة تحدث عند () وتشير إلى حالة فوق الإضمحلال.

إضمحلال حرج[عدل]

هذه الحالة عند قيمة ()، هي الحد الفاصل بين الحالة المضمحلة وفوق الإضمحلال، ويشيار إليها بالإضمحلال الحرج، عادة ما تكون مهمة في كثير من الحالات التي تتطلب تصميم هندسي معتمد على مهتز توافقي (مثلاً، ميكانيك لإغلاق الباب).

عامل النوعية ومعدل الإضمحلال[عدل]

يمكن التعبير عن علاقة عامل النوعية أو إختصاراً (عامل )، بنسبة الإضمحلال، ومعدل الإضمحلال () بالمعادلة التالية:[4]

عندما يكون النظام مضمحلاً ()، يكون له قطبان معقدان مترافقان كل منهما يملك جزء حقيقي من ، حيث أن المعامل () يمثل معدل الإضمحلال الأسي للمهتزات، علاقته طردية مع نسبة الإضمحلال أي كلما كانت نسبة الإضمحلال أوطأ يكون معدل الإضمحلال أصغر، أي سيبقى النظام يهتز لوقت أطول،[5] على سبيل المثال: الشوكة الرنانة عالية الجودة ذات نسبة الإضمحلال المنخفضة جداً، يدوم إهتزازها لفترة طويلة، وتضمحل بشكل بطيء جداً بعد طرقها بمطرقة.

التناقص اللوغاريتمي[عدل]

للمهتزات المضمحلة، يمكن ربط نسبة الإضمحلال بالتناقص اللوغاريتمي [الإنجليزية] الذي يرمز له () عن طريق العلاقة:

حيث أن:

() و() هما سِعات الإهتزاز عند قمتين متتاليتين لحركة مضمحلة.

تجاوز الحد المئوي[عدل]

في نظرية التحكم، تجاوز الحد يشير إلى أن الخرج الناتج يتجاوز قيمته النهائية المستقرة ويتذبذب حولها قبل وصوله إلى الإستقرار،[6] ولإدخال درجي، تكون قيمة تجاور الحد المئوي إختصاراً (PO) مساوية للقيمة العظمى ناقصاً قيمة الخطوة مقسومة على قيمة الخطوة، في حالة قيمة عظمى مساوية لـ() يمكن أن يعطى مقدار تجاوز الحد المئوي بدلالة نسبة الإضمحلال () كما يلي:

وعلى العكس من ذلك، يمكن أن نحصل على نسبة الإضمحلال بدلالة قيمة تجاوز الحد المئوي:

المراجع[عدل]

  1. ^ An introduction to mechanical vibrations. New York,: Wiley. [1971]. ISBN 0-471-82091-1. OCLC 199963. مؤرشف من الأصل في 4 أغسطس 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); تحقق من التاريخ في: |تاريخ= (مساعدة)CS1 maint: extra punctuation (link)
  2. ^ Meijaard, J.p; Papadopoulos, Jim M; Ruina, Andy; Schwab, A.l (2007-08-08). "Linearized dynamics equations for the balance and steer of a bicycle: a benchmark and review". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 463 (2084): 1955–1982. doi:10.1098/rspa.2007.1857. مؤرشف من الأصل في 29 يوليو 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  3. ^ Introduction to mechatronics and measurement systems (الطبعة 3rd ed). Dubuque, IA: McGraw-Hill. 2007. ISBN 978-0-07-296305-2. OCLC 61309313. مؤرشف من الأصل في 4 أغسطس 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)صيانة CS1: نص إضافي (link)
  4. ^ Circuits, signals, and systems. Cambridge, Mass.: MIT Press. 1986. ISBN 0-262-19229-2. OCLC 11784016. مؤرشف من الأصل في 4 أغسطس 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  5. ^ Process control engineering : a textbook for chemical, mechanical and electrical engineers. Yverdon, Switzerland: Gordon and Breach Science Publishers. 1993. ISBN 2-88124-628-1. OCLC 28854255. مؤرشف من الأصل في 4 أغسطس 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  6. ^ Automatic control systems (الطبعة 8th ed). New York: John Wiley & Sons. 2003. ISBN 0-471-13476-7. OCLC 50737026. مؤرشف من الأصل في 4 أغسطس 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)صيانة CS1: نص إضافي (link)